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Bedingte Wahrscheinlichkeit


Bedingte Wahrscheinlichkeit verknüpft zwei Ereignisse miteinander. Damit gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ereignis eintreten wird, vorausgesetzt das Ereignis B ist bereits eingetreten. Dies wird als P(A | B) geschrieben als "die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B" gelesen.


Definition

Der senkrechte Strich wird als "unter der Bedingung" gelesen. Das Ereignis zu der rechten Seite des senkrechten Stiches (in diesem Fall B) ist das, von dem wir wissen, dass es eingetreten ist.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich durch den Multiplikationssatz herleiten.

Sind A und B zwei unabhängige Ereignisse, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, vorausgesetzt, dass B eintreten wird, gleich P(A).

Beispiel #1

Eine Lehrerin schrieb mit ihrer Klasse zwei Klausuren. 55% bestanden beide Klausuren; 72% nur die erste. Wie viel Prozent derjenigen, die den ersten Test bestanden haben, haben auch den zweiten Test bestanden?

Dies ist eine Aufgabe der bedingten Wahrscheinlichkeit, da die Wahrscheinlichkeit derjenigen, die die zweite Klausur bestanden haben, gefragt ist, unter der Vorraussetzung, dass die erste bestanden wurde.

Beispiel #2

Rund 5-10% der in Afrika an AIDS Erkrankten, wurden durch Bluttransfusionen angesteckt. Insgesamt sind im südlichen Teil Afrikas 7,2% der Bevölkerung erkrankt. Deshalb ist es wichtig, den HI-Virus durch Bluttests zu erkennen und infizierte Blutkonserven zu vernichten. DER ELISA-Test ist die gängigste Verfahrensweise, um HIV im menschlichen Körper nachweisen zu können. Die Sensitivität des ELISA-Test wird mit 99,9 % angegeben. Dies bedeutet, dass von 1000 HIV-positiven Patienten 999 als solche korrekt erkannt werden und nur einer ein falsch-negatives Ergebnis erhält. Die Spezifität beträgt 99,8 %. Von 1000 nicht HIV-Positiven erhalten also 998 ein korrektes, negatives Ergebnis und 2 ein falsch-positives Ergebnis.

Lösung

Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten mit einer Vierfeldertafel lösen.

Zuerst sollte man verstehen, welche Bedeutung die einzelnen Zahlen haben:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, wenn man infiziert ist:
    PHIV+(T+) = 0,999
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ist, wenn man infiziert ist:
    PHIV+(T-) = 0,001
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positive ist, man aber nicht infiziert ist:
    PHIV-(T+) = 0,002
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ist, und man auch nicht infiziert ist:
    PHIV-(T-) = 0,998
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mensch im südlichen Teil Afrikas mit dem HI-Virus infiziert ist:
    P(HIV+) = 0,072

Dies sind Teilwahrscheinlichkeiten, die wir benutzen können, um unsere Vierfeldertafel zu erstellen:

Quelle: Wikipedia
 krank
HIV+
nicht krank
HIV-
Summe
Test ist positiv (T+) PHIV+(T+) · 0,072 PHIV-(T+) · 0,928 P(T+)
= Summe der Zeile
Test ist negativ (T -) PHIV+(T-) · 0,072 PHIV-(T-) · 0,928 P(T-)
= Summe der Zeile
Summe 0,072
= P(HIV+)
= Summe der Spalte
0,928
= P(HIV-)
= Summe der Spalte
1

Ergebnis

 krank
HIV+
nicht krank
HIV-
Summe
Test ist positiv (T+) 0,07128 0,001856  0,073136
Test ist negativ (T-)  0,00072  0,926144 0,926864 
Summe 0,072 0,928 1

 

 

Herleitung der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit


Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich durch Äquivalenzumformung aus dem Multiplikationssatz herleiten:

  1. Wir fangen an mit dem Multiplikationssatz
  2. Beide Seiten der Gleichung durch P(A) teilen
  3. Bruch rechts vereinfachen
  4. Rechte und linke Seite vertauschen
  5. Wir haben die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit hergeleitet
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