In der linearen Algebra und der analytischen Geometrie ist häufig nach dem Winkel zwischen zwei Vektoren gefragt.
DefinitionSeien u und v zwei Vektoren in \( \mathbb{R}^n \), dann ist der Kosinus des Winkels θ zwischen den beiden Vektoren definiert als:
\( \large{ \cos(\theta ) = \dfrac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\left | \mathbf{u} \right |\cdot \left | \mathbf{v} \right |} } \)
Der Winkel wird sich gemäß des Wertebereichs der cos-1-Funktion zwischen 0 und 180° bzw. zwischen 0 und π⁄2 befinden: \( 0 \;\leq\; \measuredangle(\vec{\mathbf{u}},\vec{\mathbf{v}}) \;\leq\; 180^\circ \). Wie man an der Abbildung rechts sehen kann, gibt es noch einen zweiten Winkel θ‘. Bei der Berechnung wird immer der kleinere Winkel θ berechnet. θ‘ + θ ergibt immer 360°.
\( \mathbf{u}\cdot \mathbf{v} \) ist das Punktprodukt von u und v.
Beispiel in R²
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren u und v:
\( \large{ \mathbf{u} = \begin{pmatrix}1\\ 5\end{pmatrix},\;\; \mathbf{v} = \begin{pmatrix}3\\ 7\end{pmatrix} } \)
Die Berechnung erfolgt nach der Formel aus der Definition:
\( \begin{align}
\cos(\theta) &= \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\left | \mathbf{u} \right |\cdot \left | \mathbf{v} \right |} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{1\cdot 3 + 5\cdot 7}{\sqrt{1^2+5^2}\cdot \sqrt{3^2+7^2}} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{38}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{58}}\\[1ex] \arccospar{\vphantom{\tfrac{1}{2}}\cos(\theta)} &= \arccospar{\frac{38}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{58}}} \\[1ex]\theta &= \arccospar{\frac{38}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{58}}} \approx 11{,}89^\circ \\[1ex]&\Rightarrow \theta^\prime = 360^\circ-11{,}89^\circ = 348{,}11^\circ
\end{align} \)
Beispiel in R³
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren u und v:
\( \large{ \mathbf{u} = \begin{pmatrix}2\\ 9 \\ 5\end{pmatrix},\;\; \mathbf{v} = \begin{pmatrix}6 \\ -2\\ 4\end{pmatrix} } \)
\( \begin{align}
\cos(\theta) &= \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\left | \mathbf{u} \right |\cdot \left | \mathbf{v} \right |} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{2\cdot 6 + 9\cdot -2 + 5\cdot 4}{\sqrt{2^2+9^2 + 5^2}\cdot \sqrt{6^2+(-2)^2+4^2}} \\[1ex] \cos(\theta) &= \frac{14}{\sqrt{110}\cdot \sqrt{56}}\\[1ex] \arccospar{\vphantom{\tfrac{1}{2}}\cos(\theta)} &= \arccospar{\frac{14}{\sqrt{110}\cdot \sqrt{56}}} \\[1ex]\theta &= \arccospar{\frac{14}{\sqrt{110}\cdot \sqrt{56}}} \approx 79{,}72^\circ \\[1ex]&\Rightarrow \theta^\prime = 360^\circ-79{,}72^\circ = 280{,}28^\circ
\end{align} \)
