MatheGuru Logo

Potenzmenge


Die Potenzmenge einer Menge X ist eine Menge aus allen Teilmengen von X, inklusive der leeren Menge (Ø).

Definition

Ist X eine beliebige Menge, dann ist die Potenzmenge von X, geschieben als , eine Menge, deren Elemente alle Teilmengen von X sind.

Eigenschaften


  1. Ist X eine endliche Menge (daher: ist die Anzahl der Elemente von X zählbar), dann besteht die Potenzmenge von X aus 2|x| Elementen. Daher: 
  2. Für eine beliebige Menge X gilt nach Cantor (Begründer der Mengenlehre), dass die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge von X immer größer ist, als die Anzahl der Elemente in der Ausgangsmenge X. Daher 

Beispiel


Sei X eine Menge, die wie folgt definiert ist: X = {x, y, z}. Dann besteht die Potenzmenge  aus folgenden Elementen:

  1. Ø
  2. {x}
  3. {y}
  4. {z}
  5. {x, y}
  6. {x, z}
  7. {y, z}
  8. {x, y, z}

Wie man sehen kann, enthält die Menge, wie erwartet,  23 = 8 Elemente

Verwandtschaft mit dem Binomialkoeffizienten


Die Potenzmenge ist verwandt mit mit dem Binomialkoeffizienten. Die Anzahl der Mengen mit k Elementen in der Potenzmenge einer Menge mit n Elementen ist gleich dem Binomialkoeffizient . Die Menge aus unserem Beispiel hat somit:

  • Menge mit 0 Elementen (leere Menge)
  •  Mengen mit 1 Element
  •  Mengen mit 2 Elementen
  •  Menge mit 3 Elementen

Potenzmenge mit eingeschränkter Kardinalität


Oft will man allerdings nicht alle möglichen Kombinationen bestimmen, sondern nur solche Teilmengen, die eine bestimmte Anzahl von Elementen haben. Mit  wird die Menge der Teilmengen von X bezeichnet, die weniger als Elemente enthalten.


  • Man beachte, dass die Menge X selbst fehlt, da Sie mit insgesamt 3 Elemente, nicht weniger als 3 Elemente enthält.

Will man dagegen eine Menge aus Teilmengen, die nur eine bestimmte Anzahl von Mengen enthalten, so schreibt man:

Weiterführende Literatur


  1. Arens, T., Busam, R., Hettlich, F., Karpfinger, C., Stachel, H., & Lichtenegger, K. (2012). Grundwissen Mathematikstudium - Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. Dordrecht: Springer.
  2. Gediga, G., & Holling, H. (2013). Statistik - Wahrscheinlichkeitstheorie und Schätzverfahren. Bachelorstudium Psychologie. Göttingen [u.a.]: Hogrefe.
  3. Kohn, W. (2005). Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Statistik und ihre Anwendungen. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Mathematik für Schule und Studium