Potenzmenge

Die Potenzmenge einer Menge X ist eine Menge aus allen Teilmengen von X, inklusive der leeren Menge (Ø).

Eigenschaften

1. Ist X eine endliche Menge (daher: ist die Anzahl der Elemente von X zählbar), dann besteht die Potenzmenge von X aus 2^|x| Elementen. Daher: \( |\mathcal{P}(X)| = 2^{|X|} \)
2. Für eine beliebige Menge X gilt nach Cantor (Begründer der Mengenlehre), dass die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge von X immer größer ist, als die Anzahl der Elemente in der Ausgangsmenge X. Daher \( |\mathcal{P}(X)| > {|X|} \)

Beispiel

Sei X eine Menge, die wie folgt definiert ist: X = {x, y, z}. Dann besteht die Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \) aus folgenden Elementen:

1. Ø
2. {x}
3. {y}
4. {z}
5. {x, y}
6. {x, z}
7. {y, z}
8. {x, y, z}

Wie man sehen kann, enthält die Menge, wie erwartet,  2³ = 8 Elemente

Verwandtschaft mit dem Binominialkoeffizienten

Die Potenzmenge ist verwandt mit mit dem Binomialkoeffizienten. Die Anzahl der Mengen mit k Elementen in der Potenzmenge einer Menge mit n Elementen ist gleich dem Binominialkoeffizient \( \binom{k}{n} \). Die Menge aus unserem Beispiel hat somit:

• \( \binom{3}{0}\;=\;1 \) Menge mit 0 Elementen (leere Menge)
• \( \binom{3}{1}\;=\;3 \) Mengen mit 1 Element
• \( \binom{3}{2}\;=\;3 \) Mengen mit 2 Elementen
• \( \binom{3}{3}\;=\;1 \) Menge mit 3 Elementen

Potenzmenge mit eingeschränkter Kardinalität

Oft will man allerdings nicht alle möglichen Kombinationen bestimmen, sondern nur solche Teilmengen, die eine bestimmte Anzahl von Elementen haben. Mit \( \mathcal{P}_{\kappa}(X) \) wird die Menge der Teilmengen von X bezeichnet, die weniger als \( \kappa \) Elemente enthalten.

• \( \mathcal P_3(X) = \big\{\varnothing, \left \{ x \right \}, \left \{y  \right \}, \left \{ z \right \}, \left \{x, y  \right \}, \left \{x, z  \right \}, \left\{ y, z \right\}\big\} \)
  
  Man beachte, dass die Menge X selbst fehlt, da Sie mit insgesamt 3 Elemente, nicht weniger als 3 Elemente enthält.

Will man dagegen eine Menge aus Teilmengen, die nur eine bestimmte Anzahl von Mengen enthalten, so schreibt man:

• \( \{ U \subseteq X : |U| = 1 \} \;=\; \big\{ \left \{ x \right \}, \left \{y  \right \}, \left \{ z \right \}\big\} \)
• \( \mathcal P_2(X) \setminus \mathcal P_1(X)\;=\; \big\{ \left \{ x \right \}, \left \{y \right \}, \left \{ z \right \}\big\} \)

Weiterführende Literatur

1. Arens, T., Busam, R., Hettlich, F., Karpfinger, C., Stachel, H., & Lichtenegger, K. (2012). Grundwissen Mathematikstudium – Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. Dordrecht: Springer.
2. Gediga, G., & Holling, H. (2013). Statistik – Wahrscheinlichkeitstheorie und Schätzverfahren. Bachelorstudium Psychologie. Göttingen [u.a.]: Hogrefe.
3. Kohn, W. (2005). Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Statistik und ihre Anwendungen. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.