Kreuzprodukt, Vektorprodukt

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) ist eine Operation, die auf zwei Vektoren angewendet wird. Das Ergebnis eines Kreuzproduktes ist ein neuer Vektor der lotrecht zu den beiden Ausgangsvektoren ist. Das Kreuzprodukt hat viele Anwendungen in der Mathematik, Physik und den Ingenieurwissenschaften.

Kreuzprodukt in R³

Am häufigsten muss man zwei dreidimensionale Vektoren mit dem Kreuzprodukt multiplizieren:

Definition

Seien a und b zwei Vektoren, dann gilt für das Kreuzprodukt in R³:

\( \large{ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z \end{bmatrix} } \)

und

\( \large{ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z \end{bmatrix} } \)

\( \large{ \vec{\mathbf{a}\vphantom{b}}\times\vec{\mathbf{b}} \;\;=\;\; \begin{bmatrix}\mathbf{a}\vphantom{b}_x \\ \mathbf{a}\vphantom{b}_y \\ \mathbf{a}\vphantom{b}_z\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}\mathbf{b}\vphantom{b}_x \\ \mathbf{b}\vphantom{b}_y \\ \mathbf{b}\vphantom{b}_z \end{bmatrix} \;\;=\;\; \begin{bmatrix} \mathbf{a}\vphantom{b}_y\cdot \mathbf{b}\vphantom{b}_z – \mathbf{a}\vphantom{b}_z\cdot \mathbf{b}\vphantom{b}_y \\ \mathbf{a}\vphantom{b}_z\cdot \mathbf{b}\vphantom{b}_x – \mathbf{a}\vphantom{b}_x\cdot \mathbf{b}\vphantom{b}_z \\ \mathbf{a}\vphantom{b}_x\cdot \mathbf{b}\vphantom{b}_y – \mathbf{a}\vphantom{b}_y\cdot \mathbf{b}\vphantom{b}_x \end{bmatrix} } \)

Das Kreuzprodukt von zwei 3D-Vektoren ist ein 3D-Vektor, welcher der Rotationsachse des ersten Vektors zu dem zweiten Vektor so entspricht, dass der kleinstmögliche Drehwinkel (kleiner als 180 Grad) entsteht.

Kreuzprodukt in R²

Definition

Seien a und b zwei Vektoren, dann gilt für das Kreuzprodukt in R²:

\( \large{ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y \end{bmatrix} } \)

und

\( \large{ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_x\\ b_y \end{bmatrix} } \)

\( \large{ \vec{\mathbf{a}\vphantom{b}}\times\vec{\mathbf{b}} \;=\; \det\left ( \vec{\mathbf{a\vphantom{b}}}\,\vec{\mathbf{b}} \right ) \;=\; \begin{vmatrix}\mathbf{a}_x & \mathbf{b}_x\\ \mathbf{a}_y & \mathbf{b}_y\end{vmatrix} \;=\; \mathbf{a}_x\cdot \mathbf{b}_y-\mathbf{b}_x\cdot \mathbf{a}_y } \)

det ist die Determinante

Das Kreuzprodukt zweier zweidimensionaler Vektoren ist ein Skalar. Genauer gesagt ist das Kreuzprodukt zweier zweidimensionaler Vektoren nur der Betrag des resultierenden Vektors. Dies liegt daran, dass der Vektor genau auf den Betrachter (Betrag hat positives Vorzeichen) bzw. weg vom Betrachter (Betrag hat negatives Vorzeichen) zeigt.

Eigenschaften des Kreuzprodukts

\( \large{ \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= -\vec{b} \times \vec{a} \\ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) &= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \\ c(\vec{a} \times \vec{b}) &= (c\vec{a})\times\vec{b} = \vec{a}\times(c\vec{b}) \end{align*} } \)

Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ; werden a und b vertauscht so ändert sich das Vorzeichen. Man sagt auch, es sei antikommutativ
Für das Kreuzprodukt gilt das Distributivgesetz

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ

Weiterführende Literatur

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Physik: Bachelor-Edition. (Koch, S. W., Ed.). Weinheim: WILEY-VCH.
Papula, L. (2009). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler ; Bd. 1: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium : mit 609 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 352 Übungsstafeln mit ausführlichen Lösungen (12., überarb. und erw. Auflage). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler / Lothar Papula: Bd. 1, Ed. 12. Wiesbaden: Vieweg + Teubner.