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Abstand zwischen zwei Punkten


Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade. Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum lässt sich einfach über den Satz des Pythagoras berechnen, wie wir in diesem Artikel sehen werden.

Definition

Der Abstand d zwischen zwei Punkten A(x1, y1) und B(x2, y2) wird berechnet durch folgende Formel:

In manchen Büchern und Formelsammlungen wird die Reihenfolge der Punkte vertauscht: . Beide Formeln sind allerdings mathematisch identisch und liefern die selben Ergebnisse.

Geometrische Betrachtung 


Der Abstand oder die Distanz d zwischen zwei Punkten ist in einem kartesischen Koordinatensystem immer eine Gerade. Wie man in der Animation rechts sehen kann, ist es möglich, diese Länge über den Satz des Pythagoras zu berechnen. Man kann sich die beiden Punkte als Ecken eines Dreiecks vorstellen. Zieht man eine horizontale beziehungsweise vertikale Linie von diesen beiden Punkten aus, so ist der dritte Punkt dort, wo sich beide Linien treffen. Der Winkel den dieser dritte Punkt einschließt, beträgt 90°. Somit haben wir mit zwei Punkten ein rechtwinkliges Dreieck eindeutig bestimmt.

Die gesuchte Strecke zwischen beiden Punkten ist die längste Seite des Dreiecks, die Hypothenuse. (Im Euklidischen Raum ist dies auch gleichzeitig die kürzeste mögliche Distanz zwischen zwei Punkten.) Sie lässt sich einfach durch die Längen der beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln.

 

Beispiel


Bestimme die Distanz zwischen folgenden Punkten P1(5; 3) und P2(9; -4).

Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir:

Weitere Literaturempfehlungen zum Thema

  1. Maor, E. (2007). The Pythagorean theorem: A 4,000-year history. Princeton, N.J.: Princeton University Press.
  2. Posamentier, A. S. (2010). The Pythagorean theorem: The story of its power and beauty. Amherst, N.Y.: Prometheus Books.
  3. Wolf, C. (2013). Mathe an Stationen Satz des Pythagoras: Übungsmaterial zu den Kernthemen der Bildungsstandards (7. bis 10. Klasse) (1. Aufl.). Hamburg: Auer Verlag.
Mathematik für Schule und Studium