Integration durch trigonometrische Substitution

Integration durch trigonometrische Substitution ist ein Sonderfall der Integration durch Substitution. Diese Methode kann immer dann angewandt werden, wenn der Integrand einen Term der Art \( \footnotesize{ \sqrt{a^2+x^2} } \), \( \footnotesize{ \sqrt{a^2-x^2} } \) oder \( \footnotesize{ \sqrt{x^2-a^2} } \) enthält. Nachdem wir trigonometrische Substitution angewendet haben, erhalten wir ein Integral, welches einfacher zu integrieren ist als vorher. In einigen Fällen wird es auch erst durch trigonometrische Substitution möglich, dass Integral zu bestimmen.

Will man die Fläche eines Kreises oder einer Ellipse finden, die dem Integral \( \footnotesize{ \int \sqrt{a^2-x^2}\;\mathrm{d}x } \) (a > 0) genügt, so könnte man meinen, dass u = a²-x² die effektivste Substitution ist. Aber das Integral ist nicht so einfach zu lösen:

\( \int\sqrt{a^2-x^2}\;=\;\sqrt{a^2-\obrace[x=a\cdot\sin\br{\theta}]{a^2\cdot\sin^2\br{\theta}}}\;=\;\sqrt{a^2\cdot\br{1-\sin^2\br{\theta}}}\;=\;\sqrt{a^2\cdot\cos^2\br{\theta}}\;=\;a\cdot\left | \cos(\theta) \right | \)

Substitutionen

Je nach Term, muss eine andere Substitution ausgewählt werden. Insgesamt gibt es drei Möglichkeiten trigonometrisch zu Substituieren:

Term	Substitution	Intervall	trigonometrische Identität
\( \sqrt{a^2-x^2} \)	\( x=\sinpar{\theta} \)	\( -\frac{\pi}{2}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2} \)	\( 1-\sin^2\br{\theta}=\cos^2\br{\theta} \)
\( \sqrt{a^2+x^2} \)	\( x=\tanpar{\theta} \)	\( -\frac{\pi}{2}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2} \)	\( 1+\tan^2\br{\theta}=\sec^2\br{\theta} \)
\( \sqrt{x^2-a^2} \)	\( x=\sec\br{\theta} \)	\( 0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2} \mathrm{\;\;\;\;oder\;\;\;\;}\pi\leqslant\theta\leqslant\frac{3\cdot\pi}{2} \)	\( \sec^2\br{\theta}-1=\tan^2\br{\theta} \)

Beispiel 1

\( \begin{align*} \intx{{1}\over{x^2\,\sqrt{5-x^2}}} &= \int{{1}\over{\big(2\sinpar{\theta}\big)^2\,\sqrt{5-\big(2\sinpar{\theta}\big)^2}}}\,2\cospar{\theta}\;\mathrm{d}\theta \\[2ex] &= \int{{2\cospar{\theta}}\over{4\,\sin^2\br{\theta}\,\sqrt{5-4\,\sin^2\br{\theta}}}}\;\mathrm{d}\theta \\[2ex] &= \int{{\cospar{\theta}}\over{2\,\sin^2\br{\theta}\,\sqrt{5-4\,\sin^2\br{\theta}}}}\;\mathrm{d}\theta \end{align*} \)

Beispiel 2

Integriere: \( \int \frac{\textup{d}x}{\sqrt{x^2+9}} \)

Zuerst müssen wir die geeignete Substitution auswählen. In diesem Fall können wir die Wurzel beseitigen, wenn wir x = 3 · tan(θ) annehmen. Damit erhalten wir dx = 3 · sec²(θ) dθ.

\( \begin{align*} \int \frac{\textup{d}x}{\sqrt{x^2+9}} \;&=\; \int \frac{3\cdot \sec^2\left ( \theta \right )}{\sqrt{\big( 3\cdot \tan\!\left ( \theta \right ) \big)^2+9}}\;\textup{d}\theta \\[2ex] &=\; \int \frac{3\cdot \sec^2\left ( \theta \right )}{\sqrt{ 9\cdot \tan^2\!\left ( \theta \right )+9}}\;\textup{d}\theta \\[2ex] &=\; \int \frac{3\cdot \sec^2\left ( \theta \right )}{ 3\cdot \sqrt{\tan^2\!\left ( \theta \right )+1}}\;\textup{d}\theta \\[2ex] &=\; \int \frac{\sec^2(\theta)}{\sec(\theta )}\;\textup{d}\theta \\[2ex] &=\; \int {\sec(\theta )}\;\textup{d}\theta \\[2ex] &=\; \log\left |{\sec(\theta )+\tan(\theta)} \right |+C \end{align*} \)

Nun müssen wir das Integral in Bezug auf die ursprüngliche Variable x umschreiben. Da unsere Subsitution x = 3 · tan(θ) ist, können wir nach tan(θ) auflösen und erhalten damit tan(θ) = x/3. Wir müssen jetzt nur noch sec(θ) auflösen. Jede der fünf trigonometrischen Funktionen lässt sich in Form jeder anderen schreiben. Für sec(θ) wäre dies:

\( \sec^2(\theta)\;=\;\sqrt{1+\tan(\theta)} \)

Damit erhalten wir als Endergebnis:

\( \log\left |{\sqrt{1+\tan\left(\frac{x}{3}\right)^2}+\frac{x}{3}} \right |+C \)

Weiterführende Literatur

Bronstein, I. N., & Semendjajew, K. A. (2001). Taschenbuch der Mathematik (5., überarbeitete und erweiterte Auflage, unveränderter Nachdruck). Thun [u.a.]: Deutsch. ISBN: 978-3817120055.
Glosauer, T. (2015). (Hoch)Schulmathematik: Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni. Wiesbaden [u.a.]: Springer Spektrum. ISBN: 978-3658058647.