Herangehensweise an die Integration

Wie wir bereits festgestellt haben, ist Integrieren komplizierter als Ableiten. Beim Ableiten ist es offensichtlich, welche Regel und welche Formel einzusetzen ist. Beim Integrieren hingegen ist alles etwas schwieriger. Funktionen die einfach zu differenzieren sind, sind oft nur mit komplizierten Formeln zu integrieren.

Daher ist es hilfreich, nicht planlos einfach drauflos zu integrieren. Wir haben eine Anleitung für euch vorbereitet, nach der ihr beim integrieren vorgehen könnt. Bevor wir allerdings beginnen können, müssen wir die Grundregeln und Grundverfahren der Integration kennen.

1. Den Integranden so weit wie möglich vereinfachen

Durch algebraische Umformung und die Anwendung trigonometrischer Identitäten, wird manchmal die Wahl des Integrationsverfahrens offensichtlich.

Beispiele

\( \intb{\dfrac{6\,{x}^{2}+18\,x}{6\,x}}=\intb{x+3} \)

\( \intb{3\,\mathrm{sin}\left( x\right) -4\,{\mathrm{sin}\left( x\right) }^{3}}=\intb{ \mathrm{sin}\left( 3\cdot x\right) } \)

\( \intb{{\mathrm{cos}\left( x\right) }^{2}} = \intb{\dfrac{\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) +1}{2}} = \dfrac{1}{2}\cdot\intb{\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) }+\intb{\dfrac{1}{2}} \)

2. Nach offensichtlichen Lösungen suchen

Einige Lösungen springen einem förmlich ins Auge. Bevor man kompliziertere Verfahren ins Auge fasst, sollte man vorher schauen, ob man die Funktion f(x) nicht auch in Form von g(x) und dessen Ableitung g'(x) ausdrücken kann. Ist dies der Fall, kann man durch Substitution integrieren, oder, im Spezialfall @@ f(x)=(g'(x))/(g(x)) @@ durch logarithmische Substitution integrieren.

Beispiele

\( \intx{3 \br{3x-1}^5} = \int {\ubrace[u^5]{\vphantom{ \dfrac{{\left( 3\,x-1\right) }^{6}}{6} }\br{3x-1}^5}\cdot\ubrace[u^{\prime}]{\vphantom{ \dfrac{{\left( 3\,x-1\right) }^{6}}{6} }\br{3}\;\mathrm{d}x}} = \ubrace[\dfrac{u^6}{6}]{\dfrac{{\left( 3\,x-1\right) }^{6}}{6}}+C \)

\( \intx{ \ubrace[f\left(g(x)\right)]{\left(x^2+5\right)^2}\cdot\ubrace[g^{\prime}(x)]{\vphantom{\left(x^2+5\right)^2}\left(2x\right)} } = \dfrac{{\left( {x}^{2}+5\right) }^{3}}{3}+C \)

\( \intx{\dfrac{1}{x\cdot\log(x)}} = \intx{ \dfrac{1}{\ubrace[g^{\prime}(x)]{x\vphantom{\log(x)}}\cdot\ubrace[g(x)]{\log(x)}} } \; = \; \log\big(\log(x)\big)+C \)

3. Art des Integrals bestimmen

(a) Trigonometrische Funktionen

Ist f(x) ein Produkt aus sin(x) oder cos(x), tan(x) und sex(x) oder cot(x) und csc(x), dann können wir entsprechende Substitutionen benutzen, um den Ausdruck zu vereinfachen. Auch bei Potenzen von trigonometrischen Funktionen können entsprechende Identitäten angewandt werden (siehe letztes Beispiel unter 1).

\( \intb{\sin \left ( x \right )\cdot \cos \left ( x \right )} = \dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{sin}\left( 2\,x\right) \)

(b) Rationale Funktionen

Ist f(x) eine rationale Funktion, also ein Quotient zweier Polynome, kann die Funktion eventuell mit Hilfe von Partialbruchzerlegung vereinfacht werden.

\( \intb{\dfrac{{x}^{2}+6\,x+26}{9\,{x}^{2}+54\,x+72}}=\intb{-\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{9}} \)

(c) Partielle integration

Wenn f(x) ein Produkt zweier Funktionen von x ist oder ein Polynom, kann man versuchen das Integral mit partieller Integration zu lösen. u und v‘ sollten entsprechend unserer Empfehlung gewählt werden.

(d) Wurzeln

Bestimmte Wurzeln können durch spezielle Substitutionverfahren gelöst werden.

Sollte \( \sqrt{\pm x^2\pm a^2} \) im Integranden vorkommen, kann eine entsprechende Substitution gemäß der Tabelle hier eingesetzt werden.
Wenn der Term \( \sqrt[n]{ax+b} \) im Integraden vorkommt, können wir versuchen mit \( u=\sqrt[n]{ax+b} \) zu substituieren.

(e) Quadratisches Polynom im Nenner

Sollte im Nenner der Funktion ax²+bx+c vorkommen, kann durch quadratische Ergänzung integriert werden. Dabei ist Integration durch quadratische Ergänzung im Prinzip nur eine Erweiterung von Integration durch trigonometrische Ergänzung.

Beispiel

\( \begin{align} \intx{\dfrac{1}{x^2+8x+5}} &= \intx{ \dfrac{1}{{\left( x+4\right) }^{2}-11} } \end{align} \)

Nun können wir die allgemeine Formel benutzen, um ein solches Integral zu lösen:

\( \int \dfrac{1}{u^2-a^2}\;\mathrm{d}u = \dfrac{1}{2a}\cdot\ln\left|\dfrac{u-a}{u+a}\right|+C \)

In unserem Beispiel wäre \( u=x+4 \) und @@ a=sqrt(11) @@

\( \begin{align} \intx{\dfrac{1}{x^2+8x+5}} &= \intx{ \dfrac{1}{{\left( x+4\right) }^{2}-11}}\\ &= \int \dfrac{1}{u^2-a^2}\;\mathrm{d}u \\ &= \dfrac{1}{2a}\cdot\ln\left|\dfrac{u-a}{u+a}\right|+C \\ &= \boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{11}}\cdot\ln\left|\dfrac{x+4-\sqrt{11}}{x+4+\sqrt{11}}\right|+C} \end{align} \)

4. Nochmal versuchen

Wenn die Schritte oben das Integral nicht lösen konnten, immer daran denken: es gibt gibt im Prinzip nur Substitution und partielle Integration, um ein Integral zu lösen.

Substitution versuchen

Selbst wenn keine Substitution offensichtlich erscheint, sollte man trotzdem versuchen, das Integral so zu lösen. Oft hilft es, wenn man einfach den Integranden in all seine Teilausdrücke zerlegt, und Substitution mit all diesen durchführt. Auch wenn diese Methode recht wahllos erscheinen mag, sie hilft, wenn man gar nicht weiter kommt.

Partielle Integration versuchen

Auch wenn partielle Integration hauptsächlich verwendet wird, um ein Produkt zu integrieren, kann es bei einigen Termen weiterhelfen. Dazu gehören beispielsweise ln(x), sin^-1(x) und cos^-1(x).

Äquivalenzumformungen versuchen

Algebraischen Umformungen, Erweiterungen oder einfach den Ausdruck ausmultiplizieren. All dies kann helfen, das Integral zu lösen. Manchmal können auch trigonometrische Identitäten weiter helfen.

Reduktionsformeln benutzen

Dieser Schritt ist der schwierigste von allen. Reduktionsformeln sehen oft komplizierter aus, als das Integral selbst. Nur die wenigsten Formelsammlungen haben eine (meist sehr kurze) Übersicht über die wichtigsten. Dennoch, sollten sie zugelassen sein, können Reduktionsformeln viele Integrale knacken.

Mehrere Methoden verwenden

Oft lassen sich Integrale nicht mit einer Methode allein lösen. Mehrere Methoden müssen in der richtigen Reihenfolge eingesetzt werden, um das Integral zu lösen. Manchmal hilft es, wenn man sich die vorigen Aufgaben noch einmal genau anschaut. Oft baut eines auf dem anderen auf.