Maxima und Minima
Zu den wichtigsten Anwendungsgebieten der Differentialrechnung zählen Optimierungsprobleme. Gesucht wird die Lösung mit der ein Problem optimal (am besten) gelöst werden kann, wenn der Wert der Funktion sein Maximum oder Minimum erreicht.
Fragen wie:
- Was ist die größte rechteckige Fläche, die von 500 Meter Zaun eingeschlossen werden kann?
- Wie kann der Gewinn einer Firma maximiert werden, bei gleichzeitiger Minimierung von Variablen wie Rohstoffen, Personal, Transportkosten,etc.
- Wie hoch ist die Belastbarkeit eines Stahlträgers?
- Welche Form muss eine Verpackung haben, die einen Liter Wasser halten kann aber gleichzeitig möglichst wenig Rohstoffe und Platz verbraucht?
können alle als Funktion geschrieben werden, deren Minimum oder Maximum die Frage optimal beantwortet.
Minimum und Maximum finden
Um das Minimum und Maximum einer Funktion zu finden, müssen die ersten beiden Ableitungen berechnet werden.
Definition
Ist c Element des Definitionsbereich D der Funktion f, dann ist f(c)
- das absolute Maximum, wenn f(c) ≥ f(x), für alle x Element D
- das absolute Minimum, wenn f(c) ≤ f(x), für alle x Element D
Beispiel
Auf einer Obstplantage stehen 150 Birnbäume. Jeder Baum hat einen Ertrag von 350 Früchten. Mit jedem weiteren angepflanzten Birnbaum sinkt der Ertrag um 10 Früchte. Wie viele weitere Birnbäume müssen gepflanzt werden, um den größtmöglichen Ertrag zu erhalten?
(100+x)(350-10x)