Kettenregel
Die Kettenregel hat ihren Namen daher, dass sie angewendet wird, um zwei oder mehrere miteinander verketteten Funktionen abzuleiten. Die Kettenregel ist aber gleichzeitig eine der wichtigsten und vielseitigsten Regeln der Differentialrechnung.
Werden zwei miteinander verkettete Funktionen f und g abgeleitet, dann gilt:
Die Schreibweise \( (f \circ g) \) bedeutet \( f\big(g(x)\big) \) und wird gelesen als „f verkettet mit g“ oder „f komponiert mit g“.
Verkettete Funktionen
Für weitere Erklärungen, bitte den Hauptartikel Verkettung von Funktionen aufrufen
Eine Möglichkeit eine mathematische Funktion graphisch darzustellen, ist ein Kasten, in den auf der einen Seite etwas hineingeschoben wird und auf der anderen Seite etwas anderes wieder herauskommt. Im Falle einer Funktion wird das Funktionsargument x in die Funktion hineingeschoben, und ein Funktionswert f(x) kommt heraus.
Eine verkettete Funktion aber besteht aus mehr als nur einem Kasten. Verkettung ist ein mehrstufiger Prozess: im Fall von zwei Funktionen, ein zweistufiger Prozess, wie das Diagramm unterhalb deutlich macht:
Beispiel
| f º g | f | g | Ableitung |
|---|---|---|---|
| @@ e^(x^(2)) @@ | \( e^x \) |
\( x^2 \) |
\( f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \;=\; 2\,x\,{e}^{{x}^{2}} \) |
| @@ sin(x^2+5) @@ | @@ sin(x) @@ | \( x^2+5 \) |
\( f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \;=\; 2\,x\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}+5\right) \) |
| @@ e^sqrt(5x+9) @@ | \( e^x \) |
@@ sqrt(5x+9) @@ | \( f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \;=\; {e}^{\sqrt{5\,x+9}}\cdot \frac{5}{2\,\sqrt{5\,x+9}} \;=\;\frac{5\,{e}^{\sqrt{5\,x+9}}}{2\,\sqrt{5\,x+9}} \) |
| @@ sin(tan(x)) @@ | @@ sin(x) @@ | @@ tan(x) @@ | \( f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \;=\; {\mathrm{sec}\left( x\right) }^{2}\cdot\mathrm{cos}\left( \mathrm{tan}\left( x\right) \right) \) |
| @@ sin(x)^2 @@ | @@ x^2 @@ | @@ sin(x) @@ | \( f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \;=\; 2\,\mathrm{cos}\left( x\right) \,\mathrm{sin}\left( x\right) \) |
| @@ (x+5)^3 @@ | @@ x^3 @@ | @@ x+5 @@ | \( f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \;=\; 3\,{\left( x+5\right) }^{2} \) |
Verkettete Funktionen erkennen
Entscheidend bei der Anwendung von Regeln wie der Kettenregel oder der Substitutionsregel ist natürlich erst einmal, dass es sich bei der Ausgangsfunktion um eine verkettete Funktion handelt. Mit ein wenig Übung ist dies kein Problem. Ganz allgemein handelt es sich meistens um eine verkettete Funktion, wenn sich eine oder mehrere der folgenden Funktionen im Term befinden:
- Exponenten um Klammern
- e-Funktionen
- Betragsfunktionen
- Wurzeln
- Trigonometrische Funktionen
- Logarithmen
Am Beispiel oberhalb, kann man sehen, was genau f(x) und was g(x) sind.
Mehr als zwei verkettete Funktionen ableiten
Soll eine Funktion abgeleitet werden, die aus mehr als zwei miteinander verketteten Funktionen besteht, so gilt:
Diese Definition ist zwar nur für eine Verkettung von drei Funktionen gültig, kann aber entsprechend des Musters auch auf Funktionen, die aus mehr als drei Verkettungen bestehen, angewendet werden:
Für
Beispiel
Bestimme die Ableitung: @@ f(x) = e^(sin(x^2)) @@
Zuerst bestimmen wir die einzelnen Funktionen, die miteinander verkettet sind:
|
\( \begin{align}
p(u) &\;=\; e^u \\ g(v) &\;=\; \sin(v) \\ h(x) &\;=\; x^2
\end{align} \)
|
\( \begin{align}
\Rightarrow p^{\prime}(u) &\;=\; e^u \\ \Rightarrow g^{\prime}(v) &\;=\; \cos(v) \\ \Rightarrow h^{\prime}(x) &\;=\; 2x
\end{align} \)
|
Nach der Kettenregel gilt:
Das Ergebnis lautet somit: