Beweis für die Ableitung von cot(x)
Beweis, dass -1/sin(x) die Ableitung des Cotangens ist, wenn sin(x) ≠ 0.
Herleitung und Beweis
Aus der Definition der Cotangens-Funktion wissen wir, dass sich cot(x) auch mithilfe des Tangens ausdrücken lässt. Daher ist:
@@ cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x) @@.
Wir wissen auch, dass Cosinus die Ableitung des Sinus ist und das -sin(x) die Ableitung von cos(x) ist. Daraus folgt:
\( \begin{align*}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cot(x) \;\,&= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \;\frac{1}{\tan(x)}\;\;=\;\; \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \;\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\\[3ex] &= \frac{\big(\cos(x)\big)^\prime\cdot\sin(x)-\cos(x)\cdot\big(\sin(x)\big)^\prime}{\big(\sin(x)\big)^2} \\[3ex] &= \frac{-\sin(x)\cdot\sin(x)-\cos(x)\cdot\cos(x)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{-\left (\sin^2(x)+\cos^2(x) \right )}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{-1}{\sin^2(x)}\qquad\blacksquare
\end{align*} \)
Erklärung
- cot(x) mithilfe anderer trigonometrischer Funktionen ausdrücken.
- Der resultierende Bruch kann mit der Qutientenregel abgeleitet werden.
- Gemäß der Ableitung von sin(x) und der Ableitung von cos(x) können wir die Quotientenregel anwenden.
- Faktoren zusammenfassen.
- Eine wichtige trigonometrische Identität besagt, dass sin²(x) + cos²(x) = 1 ist.
- Q.E.D.