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Ableitungsregeln

Hier haben wir die wichtigsten Ableitungsregeln noch einmal zusammengefasst.

Definition der Ableitung (Differentialquotient):

Definition

\( \large{ f^{\prime}(x) \;=\; \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} } \)

Ableitungsfunktionen

Funktion Ableitung
\( c, c \in \mathbb{R} \)
@@ 0 @@
\( x^n \;\, \left \{ \left . n \;\right |\; \mathbb{R} \right \} \)
@@ n*x^(n-1) @@
\( e^x \)
\( e^x \)
\( e^{f(x)} \)
\( f^{\prime}(x)\cdot e^{f(x)} \)
\( a^x \)
@@ ln(a)*a^x @@
\( \sqrt(x) \)
@@ 1/(2*sqrt(x)) @@
\( \sqrt[3]{x} \)
@@ 1/(3*root(3)(x^2)) @@
\( \ln(x) \)
@@ 1/x @@
\( \log_c(x) \)
\( {\dfrac{1}{x \cdot\ln(c)}} , \qquad c > 0,\; c \ne 1 \)

Trigonometrische Funktionen

Funktion Ableitung Umkehrfunktion Ableitung Umkehrfunktion
\( \mathbf{\sin}(x) \)
\( \cos(x) \)
\( \sin^{-1}(x) \)
@@ 1/sqrt(1-x^2) @@
\( \cos(x) \)
\( -\sin(x) \)
\( \cos^{-1}(x) \)
@@ -1/sqrt(1-x^2) @@
\( \tan(x) \)
\( \sec^2(x)\;=\;{ 1 \over \cos^2(x)} \;=\; 1 + \tan^2(x) \)
\( \tan^{-1}(x) \)
@@ 1/(1+x^2) @@
\( \sec(x) \)
\( \sec (x)\cdot \tan (x) \)
\( \sec^{-1}(x) \)
\( { \dfrac{1}{\sqrt{x^2 – 1}\cdot |x|}} \)
\( \csc(x) \)
\( -\csc(x) \cdot\cot (x) \;=\; -\dfrac{\mathrm{cos}\left( x\right) }{{\mathrm{sin}\left( x\right) }^{2}} \)
\( \csc^{-1}(x) \)
\( -{1 \over \sqrt{x^2 – 1}\cdot |x|} \)
\( \cot(x) \)
\( -\csc^2(x) \;=\; { -1 \over \sin^2(x)} \;=\; -\left(1 + \cot^2 (x)\right) \)
\( \cot^{-1}(x) \)
\( -{1 \over 1 + x^2} \)
\( \sinh(x)\;=\;\dfrac{e^x – e^{-x}}{2} \)
\( \cosh(x)\;=\;\dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \)
\( \sinh^{-1}(x) \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}} \)
\( \cosh(x)\;=\;\dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \)
\( \sinh(x)\;=\;\dfrac{e^x – e^{-x}}{2} \)
\( \cosh^{-1}(x) \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{{x}^{2}-1}} \)
\( \tanh(x)\;=\;\dfrac{\mathrm{sinh}\left( x\right) }{\mathrm{cosh}\left( x\right) } \)
\( \mathrm{sech}^2(x)\;=\;\dfrac{1}{{\mathrm{cosh}^2( x) }} \)
\( \tanh^{-1}(x) \)
\( \dfrac{1}{1-{x}^{2}} \)

Ableitungsregeln

Summenregel

Zum Hauptartikel Summenregel

\( \Large{ \big( f(x)+g(x) \big)^{\prime} \;=\; \big( f(x) \big)^{\prime}+\big( g(x) \big)^{\prime} } \)

Produktregel

Zum Hauptartikel Produktregel

\( \Large{ \big( f(x)\cdot g(x) \big)^{\prime} \;=\; f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x) } \)

Quotientenregel

Zum Hauptartikel Quotientenregel

\( \Large{ \Bigg( \dfrac{f(x)}{g(x)} \Bigg)^{\prime} \;=\; \dfrac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)^2} } \)

Kettenregel

Zum Hauptartikel Kettenregel

\( \Large{ \Big(f\big(g(x)\big)\Big)^{\prime} \;=\; f^{\prime}\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) } \)

Ableitung eines Kehrwerts

Zum Hauptartikel Reziprokenregel

\( \Large{ \left(\dfrac{1}{f(x)}\right)^{\prime}\;=\;-\dfrac{f^{\prime}(x)}{\big(f(x)\big)^2} } \)