Kurvendiskussion

Bei einer Kurvendiskussion (auch Kurvenuntersuchung genannt), wird eine Funktion auf ihre geometrischen Eigenschaften hin untersucht. Dabei lassen sich diese Eigenschaften in Form von einigen markanten Punkten zusammenfassen. Abgeschlossen wird eine Kurvendiskussion meistens mit einer Skizze der Funktion, in der alle gefundenen Punkte eingetragen werden.

Bei einer Kurvendiskussion (auch Kurvenuntersuchung genannt), wird eine Funktion auf ihre geometrischen Eigenschaften hin untersucht. Dabei lassen sich diese Eigenschaften in Form von einigen markanten Punkten zusammenfassen. Abgeschlossen wird eine Kurvendiskussion meistens mit einer Skizze der Funktion, in der alle gefundenen Punkte eingetragen werden.

Allgemein gilt: Sind nicht nur die Stellen, sondern die Punkte gefragt, muss die Stelle (Nullstelle, Extremstelle, Wendestelle, …) in die Ausgangsfunktion f(x) eingesetzt werden, nicht in eine Ableitung! Bei periodischen Funktionen ist oft nicht nur eine Lösung gefragt, sondern alle. Daher müssen, wie im ersten Punkt Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Laufvariablen eingeführt werden, um alle Lösungen zu berücksichtigen.

Jede Komponente einer Kurvendiskussion muss zwei verschiedene Kriterien erfüllen um gültig zu sein: das notwendige und das hinreichende Kriterium. Notwendig und hinreichend sind hier zwei mathematische Wörter. Um überhaupt in Frage zu kommen, muss zuerst das notwendige Kriterium erfüllt werden. Ist diese Bedingung erfüllt, muss noch zusätzlich das hinreichende Kriterium überprüft werden. Erfüllt ein Punkt beides, kann mit Sicherheit gesagt werden, dass es sich dabei um einen Hoch-, Tief-, Wende- oder Sattelpunkt handelt.

Die folgenden Kriterien gehören üblicherweise zu einer Kurvendiskussion, die Reihenfolge kann allerdings abweichen:

1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

\( \Large{ \begin{array}{l}\xplain{\text{Schnittstellen mit der x-Achse}} \\ f(x)=0 \\ \xplain{\text{Schnittstelle mit der y-Achse}} \\ f(0) = y \end{array} } \)

Häufig wird dieser Punkt auch als „Finden der Nullstellen“ bezeichnet, allerdings ist diese Beschreibung falsch. Bei einer Kurvendiskussion sollten nämlich nicht nur die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen) abgefragt werden, sondern auch der Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt).

Nehmen wir als Beispiel die Funktion @@ f(x) = x^3-x^2-4*x+4 @@. Um die Nullstellen zu finden, setzen wir f(x)=0

\( \begin{align} f(x) &= x^3-x^2-4 \cdot x+4 \\ f(x) &= 0 \\ \Rightarrow x_1 &= -2 \Rightarrow \mathrm{N}_1\big(x_1 \;|\; f(x_1)\big) = \mathrm{N}_1\big(-2 \;|\; 0\big), \\ x_2 &= 1 \Rightarrow \mathrm{N}_2\big(-1 \;|\; 0\big), \\ x_3 &= 2 \Rightarrow \mathrm{N}_3\big(2 \;|\; 0\big) \end{align} \)


Periodische Funktion mit unendlich vielen Schnittstellen	Ganzrationale Funktion mit einer endlichen Anzahl an Nullstellen

Bei periodischen Funktionen sind in der Regel alle Lösungen gefragt, nicht nur eine einzige. Viele Rechner mit Computeralgebrasystem (CAS) geben hier allerdings nur die erste Lösung an. Daher sind sie hier nicht unbedingt immer hilfreich. Um alle Lösungen zu berücksichtigen, müssen sogenannte Laufvariablen eingeführt werden:

\( \begin{align} 5\cdot\sinpar{x} &= 0 \\ \Rightarrow x &= \pi\cdot n\quad \left \{ n \mid n\in \mathbb{Z} \right \} \end{align} \)

2. Extremwerte

Zum Hauptartikel Extremstellen, Extrempunkte

\( \Large{ \begin{array}{l}\xplain{\text{notwendiges Kriterium}} \\ f^{\prime}(x)=0 \\ \xplain{\text{hinreichendes Kriterium}} \\ f^{\prime}(x)=0 \quad\mathrm{und}\quad f^{\prime}(x)\neq 0 \end{array} } \)

Extremwerte sind die Minima und Maxima der Funktion. Maxima und Minima – also Hoch- und Tiefstellen – sind jene Stellen von f(x) bei denen die Funktion in der Umgebung der Stelle besonders klein oder groß ist. Die Tangente an diesen Stellen hat eine Steigung von 0.

Wenn beim Testen des hinreichenden Kriteriums x in der zweiten Ableitung 0 ergibt, handelt es sind bei der Stelle möglicherweise um eine Sattelstelle.

3. Minima / Maxima

Die Bestimmung von Minima und Maxima ist im Prinzip eine Fortsetzung der Bestimmung der Extremstellen. Die Extremstellen, die wir vorher bestimmt haben, setzten wir nun in die 2. Ableitung ein und schauen, wie sich der Wert in Relation zu 0 verhält.

Hochpunkte werden mit einem großen H geschrieben, während bei Tiefpunkten ein großen T verwendet wird. Wird mehr als ein Hoch- oder Tiefpunkt gefunden, wird eine Zahl in den Index geschrieben, um einzelne Punkte voneinender unterscheiden zu können: H₁, H₂, H₃, …

4. Wendestellen, Wendepunkte

Zum Hauptartikel Wendestellen, Wendepunkte

Wendestellen geben Trendwenden an. In einem Wendepunkt beginnt eine Funktion zu steigen, die vorher monoton fallend war und eine Funktion die vorher monoton steigend war, zu fallen.

5. Sattelstellen, Sattelpunkte

\( \Large{ \begin{array}{l}\xplain{\text{notwendiges Kriterium}} \\ f^{\prime}(x)=0 \quad {\mathrm{\footnotesize{und}}}\quad f^{\prime}(x) = 0 \\ \xplain{\text{hinreichendes Kriterium}} \\ f^{\prime}(x)=0 \quad {\mathrm{\footnotesize{und}}}\quad f^{\prime}(x) = 0 \quad\mathrm{und}\quad f^{\prime\prime}(x)\neq 0 \end{array} } \)

Im Gegensatz zu einem Wendepunkt, ändert sich bei einem Sattelpunkt das Vorzeichen der ersten Ableitung nicht. Das hat zur Folge, dass eine Funktion, welche die ganze Zeit gestiegen ist, auch nach dem Sattelpunkt weiter steigt. Dasselbe gilt natürlich auch für Funktionen die fallen.

5. Verhalten im Unendlichen

Zum Hauptartikel Grenzwert

\( \Large{ \lim_{x \to\pm \infty }\; f(x) } \)

Beim Verhalten im Unendlichen wird untersucht, wie sich die Funktion verhält, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Dazu wird der Grenzwert benutzt. Die Funktion kann sich dabei einem bestimmten Wert annähern – man sagt auch, die Funktion konvergiert zu diesem Wert hin – bzw. entweder immer größer oder kleiner werden. Dann nähert sich die Funktion ±∞.

Automatische Kurvendiskussion mit Rechenweg

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