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Integralrechnung

Anwendungsgebiete der Integralrechnung
Viele,  die Integralrechnung betreiben, fragen sich manchmal: Wozu? Aber wären Integral- und auch Differentialrechnung keine wichtigen Teilgebiete der Mathematik, so würden sie doch nicht behandelt werden, oder? In Mathematikbüchern finden sich zwar einige Anwendungsaufgaben, doch meistens wird einfach nur integriert und abgeleitet. Auf den folgenden Seiten versuchen wir anschaulich zu zeigen, in welchen Gebieten man Integralrechnung einsetzt.

Die Trapezregel
Die Trapezregel ist eine Methode zur numerischen Integration, die die Fläche zwischen Funktion und x-Achse mit Trapezen berrechnet. Die Trapezregel stellt in vielen Fällen eine Verbesserung gegenüber dem Riemann-Integral dar, welches die Fläche mit Rechtecken näherungsweise berrechnet.

Fläche zwischen zwei Funktionen
  Das Integral wird oft als die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse definiert. Man kann es aber auch verwenden, um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, auch wenn diese über oder unter der x-Achse liegen.

Herangehensweise an die Integration
Wie wir bereits festgestellt haben, ist Integrieren komplizierter als Ableiten. Beim Ableiten ist es offensichtlich, welche Regel und welche Formel einzusetzen ist. Beim Integrieren hingegen ist alles etwas schwieriger. Funktionen die einfach zu differenzieren sind, sind oft nur mit komplizierten Formeln zu integrieren. Daher ist es hilfreich, nicht planlos einfach drauflos zu integrieren. Wir haben eine Anleitung für euch vorbereitet, nach der ihr beim integrieren vorgehen könnt. Bevor wir allerdings beginnen können, müssen wir die Grundregeln und Grundverfahren der Integration kennen.

Herleitung der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus
Die komplette Herleitung der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus mit Schritt-für-Schritt Erklärung.

Integral
Das Integral ist ein wichtiges Konzept in der Mathematik. Es ist neben der Differenzierung eines von zwei Hauptoperationen in der Infinitesimalrechung. Integral- und Differenzialrechnung sind inverse Operationen. Das heißt, integriert man eine Funktion f und differenziert sie, erhält man wieder die Ausgangsfunktion f. Üblicherweise werden integrierte Funktionen mit Großbuchstaben geschrieben (F).

Integrand
Das Integrand ist die Funktion, die integriert werden soll. Sie wird meistens als f(x) geschriben (in Kleinbuchstaben), Im Gegensatz dazu wird die Stammfunktion als großes F(x) geschrieben. Siehe auch Hauptartikel Integral

Integration durch Substitution
Die Aufgabenbereiche von Integration durch Substitution in der Integralrechnung sind vergleichbar mit denen der Kettenregel in der Differentialrechnung. Als Faustregel kann gesagt werden: Würde man die Kettenregel benutzen, um den Term abzuleiten, muss Substitution benutzt werden, um den Term zu integrieren. Bevor wir allerdings die Substituionsmethode erklären können, müssen noch das Differential einführen.

Integration durch trigonometrische Substitution
Integration durch trigonometrische Substitution ist ein Sonderfall der Integration durch Substitution. Diese Methode kann immer dann angewandt werden, wenn der Integrand einen Term der Art √a² + x², √a² – x² oder  √x² – a² enthält. Nachdem wir trigonometrische Substitution angewendet haben, erhalten wir ein Integral, welches einfacher zu integrieren ist als vorher. In einigen Fällen wird es auch erst durch trigonometrische Substitution möglich, dass Integral zu bestimmen.

Integrationskonstante
  Die Ableitung der Funktion f1(x) = x²+5 ist gleich 2x. Die Ableitung der Funktion f2(x) = x²-25 ist auch 2x. Ebenso wie x²+e, x²-1000 und x²+π³. Integriert man 2x, erhält man allerdings nur x². Dabei sollte doch das Integral einer abgeleiteten Funktion der Ausgangsfunktion entsprechen. Dies gilt allerdings nicht für Konstanten: sie fallen nach dem Ableiten weg. Deshalb muss korrekterweise zu dem Ergebnis einer Integration noch eine Konstante addiert werden, die Integrationskonstante.

Integrationsregeln
Hier haben wir die wichtigsten Integrationsformeln und -regeln in einer Liste zusammengefasst.

Partielle Integration
Jede methode zur Integration einer Funktion hat eine korrespondierende Regel zur Ableitung. Bei der partiellen Integration ist dies die Produktregel. Wie der Name schon sagt, wird partielle Integration verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Daher wird partielle Integration auch Produktintegration genannt.

Riemann-Integral
Das Riemann-Integral ist eine Methode zur numerischen Integration. Da das Integral die Fläche zwischen Funktion und x-Achse ist, versucht man mit der numerischen Integration, diese Fläche mit Hilfe von Formen zu berechnen. Das Riemann-Integral tut dies mit Rechtecken.

Mathematik für Schule und Studium