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Extremstellen, Extrempunkte


In der Analysis wird kaum einem Thema mehr Zeit gewidmet, als der Untersuchung von Funktionen. Das Finden von Extremstellen und Extrempunkten ist dabei ein wichtiger Teil. Aber auch darüber hinaus finden Extrema in vielen wissenschaftlichen Bereichen Anwedung. Diese Anwendungsaufgaben werden Extremwertaufgaben genannt.

Man unterscheidet zwischen absoluten (auch globalen) Extrema und lokalen Extrema. Meistens wird allerdings nur nach Extremwerten gefragt; eine Unterscheidung ist in der Regel nicht Teil einer Kurvendiskussion.

Definition


Absolute Extrema

Sei f eine Funktion die auf dem Intervall I definiert ist, wobei cI ist

  1. f(x) ist das Minimum von f auf I, wenn f(c) ≤ f(x) für alle xI
  2. f(x) ist das Maximum von f auf I, wenn f(c) ≥ f(x) für alle xI

Die Minima und Maxima (plural Minimum und Maximum) sind Extremwerte (plural Extrema) der Funktion auf dem Intervall. Das Minimum und Maximum einer Funktion in einem Intervall werden auch absolutes Minimum bzw. Maximum oder auch globales Minimum bzw. Maximum auf dem Intervall genannt.

Wenn f auf einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat f sowohl ein Minimum als auch ein Maximum auf diesem Intervall.

Lokale Extrema

  1. Wenn c Teil eines offenen Intervalls ist und  f(c) das Maximum, dann wird f(c) das lokale Maximum genannt. f hat ein lokales Maximum an dem Punkt (c, f(c)).
  2. Wenn c Teil eines offenen Intervalls ist und f(c) das Minimum, dann wird f(c) das lokale Minimum genannt. f hat ein lokales Minimum an dem Punkt (c, f(c)).

Jedes globale Maximum bzw. Minimum ist auch gleichzeitig ein lokales Maximum bzw. Minimum. 

 

Extrema

Unsere Funktion f(x) ist auf dem Intervall [a; e] definiert.

  • a ist das absolute Minimum, da kein anderer Funktionswert kleiner als f(a) ist. Gleichzeitig ist jede absolute Extremstelle auch eine lokale Extremstelle.
  • c ist ein lokales Maximum, da an der Stelle e ein höherer Funktionswert ist.
  • b und d sind lokale Minima, da f(a) kleiner als beide ist.
  • An der Stelle e ist das absolute Maximum der Funktion. Auch dies ist gleichzeitig ein lokales Maximum.

Wie man an dem Beispiel auch sehen kann, kann sich eine Extremstelle auch an einer Intervallgrenze befinden. In unserem Beispiel befindet sich das absolute Minimum an der linken Intervallgrenze a. Darüber hinaus kann man auch sehen, dass an den Extrempunkten die Tangente die Steigung 0 hat, also parallel zur x-Achse ist.

Extrema finden


Extrema zu finden ist dank der Differentialrechnung denkbar einfach. Eine Stelle muss zwei Bedingungen erfüllen, damit er als Extremstelle durchgehen kann. Diese Bedingungen sind das notwendige und das hinreichende Kriterium. Notwendig und hinreichend sind dabei zwei mathematische Begriffe. Damit eine Stelle überhaupt als Extremum in Frage kommt, muss sie das notwendige Kriterium erfüllen. Erfüllt sie dies, so ist sie wahrscheinlich ein Extremum. Dies wird allerdings erst eindeutig erwiesen, wenn sie das hinreichende Kriterium erfüllt hat.

Definition

Eine Funktion f hat an der Stelle xE eine Extremum, wenn gilt:

Dabei handelt es sich um ein Maximum, wenn gilt:

und um ein Minimum wenn gilt:

Um die Extremwerte einer Funktion zu finden, benötigt man die erste und die zweite Ableitung

  1. Erste und zweite Ableitung bilden
  2. Erste Ableitung Null setzen
  3. Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen
  4. Ist der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle ungleich Null, handelt es sich um eine Extremstelle. Ist der Wert größer als Null, ist es ein Minimum; ist der Wert hingegen kleiner als Null, handelt es sich um ein Maximum.

Beispiel

Finde alle Extrema der Funktion f(x) = x3 + 3x2 - 1

Zuerst bestimmen wir die erste und zweite Ableitung:

f '(x) = 3x2 + 6x
f ''(x) = 6x + 6

Als nächstes setzen wir die erste Ableitung gleich Null:

f '(x) = 0
   x1 = -2
x2 = 0

Nun setzen wir x1 und x2 in die zweite Ableitung ein, um zu schauen, ob sie größer oder kleiner als Null sind:

f ''(x1) = -6         f ''(x1) < 0 Es handelt sich um ein Maximum
f ''(x2) = 6    f ''(x2) > 0 Es handelt sich um ein Minimum

Der Graph der Funktion bestätigt dies:

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