MatheGuru Logo

Beweis für die Ableitung von sinh(x)


Beweis, dass cosh(x) die Ableitung von sinh(x) ist.

Definitionsgemäß entspricht der Sinus Hyperbolicus:   . Mit dieser Definition wird der folgende Beweis geführt werden.

Erklärung


  1. Der hyperbolische Sinus kann, wie alle hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, als Exponentialfunktion mit der natürlichen Basis e geschrieben werden. Da der hyperbolische Sinus und diese Exponentialschreibweise identisch sind, sind auch ihre Ableitungen identisch.
  2. ½ kann als konstanter Faktor aus dem Ausdruck faktorisiert werden.
  3. Gemäß der Summenregel schreiben wir die Differenz beider Exponentialfunktionen als zwei eigenständige Ableitungen.
  4. Die Ableitung einer e-Funktion gehört zu den einfachsten der Differenzialrechnung. Die Ableitung von ex ist wiederrum ex, während die Ableitung von e-x nur einen Vorzeichenwechsel erfährt und zu -e-x wird.
  5. Nachdem alle Klammern entfernt wurden, erhalten wir als Ergebnis der Differenzierung  . Dieser Wert entspricht der Definition des hyperbolischen Cosinus. Daher ist die Ableitung des hyperbolischen Sinus der hyperbolische Cosinus.

Q.E.D.

Mathematik für Schule und Studium