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Beweis für die Ableitung von cosh(x)


Der Beweis, dass sinh(x) die Ableitung von cosh(x) ist. Anders als bei den trigonometrischen Funktionen hat weder der hyperbolische Sinus noch der Cosinus einen Vorzeichenwechsel, wenn sie abgeleitet werden. Daher ist der eine schlichtweg die Ableitung des anderen.

Definitionsgemäß entspricht der Cosinus Hyperbolicus:   .  Mit dieser Definition wird der folgende Beweis geführt werden.

Erklärung


  1. Der hyperbolische Cosinus kann, wie alle hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, als Exponentialfunktion mit der natürlichen Basis e geschrieben werden. Da der hyperbolische Cosinus und diese Exponentialschreibweise identisch sind, sind auch ihre Ableitungen identisch.
  2. ½ kann als konstanter Faktor aus dem Ausdruck faktorisiert werden.
  3. Gemäß der Summenregel können wir die Differenz beider Exponentialfunktionen als zwei eigenständige Ableitungen schreiben.
  4. Die Ableitung einer e-Funktion gehört zu den einfachsten der Differenzialrechnung. Sie ist die einzige bekannte Funktion bei der Ableitung (und Stammfunktion) identisch sind. Die Ableitung von ex ist wiederrum ex, während die Ableitung von e-x nur einen Vorzeichenwechsel erfährt und zu -e-x wird.
  5. Nachdem alle Klammern entfernt wurden, erhalten wir als Ergebnis der Differenzierung  . Dieser Wert entspricht der Exponentialdarstellung des hyperbolischen Sinus. Daher ist die Ableitung des hyperbolischen Cosinus der hyperbolische Sinus.

Q.E.D.

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