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Beweis für die Ableitung von asin(x)


Wir beweisen die Ableitung des Arkussinus, mit kompletter Herleitung und Erklärung.

Beweis und Erklärung


Es soll bewiesen werden, dass      für eine reelle Zahl x, für die gilt -1 < x < 1.

Die Aussage      impliziert, dass, wenn wir die Sinusfunktion auf beide Seiten der Gleichung anwenden, wir folgende Gleichung erhalten:   .

Die Ableitung von x ist demnach  

Der Kehrwert davon ist  

Von der trigonometrischen Identität der gegenseitigen Darstellung wissen wir, dass  

Wenn wir diese Identität nicht cos(y) lösen und die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, erhalten wir:  

Da cos(y) ≥ 0 auf dem Intervall      ist, müssen wir die positive Quadratwurzel ziehen. Damit haben wir dann:   

Daraus folgt:  

Nachdem wir sin(y) durch x resubstituieren, ist unser Endergebnis:

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