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Beweis für die Ableitung des natürlichen Logarithmus


Hier der Beweis, dass x-1 die Ableitung des natürlichen Logarithmus (ln, vom lateinischen: logarithmus naturalis) ist.

Herleitung


Die Zahl e kann über verschiedene Methoden berechnet und hergeleitet werden. Eine der bekanntesten ist die Definition über einen Grenzwert. Demnach gilt: . Dieser Grenzwert wird in leicht abgewandelter Form auch in diesem Beweis vorkommen.

 

 Erklärung

  1. Die Herleitung der Ableitung wird, wie die meisten Herleitungen von Ableitungen, über die Definition der Ableitung geführt, dem Differentialquotienten.
  2. Über die Logarithmusgesetze kann die Differenz zweier Logarithmen als Quotient eines einzigen geschrieben werden. kann aus dem Term faktorisiert werden.
  3. Der Term innerhalb des Logarithmus kann weiter vereinfacht werden.
  4. Wir multiplizieren mit dem Grenzwert. Auch wenn  gleich 1 ist, und damit scheinbar keinen Unterschied macht, wird die Beweisführung dadurch stark vereinfacht. Ein ähnlicher Schritt findet sich beispielsweise auch in der Herleitung der Produktregel.
  5. Da Multiplikation kommutativ ist, können wir die Zähler beider Brüche vertauschen.
  6. Gemäß des Logarithmusgesetzes können wir den Faktor eines Logarithmus als Potenz des Logarithmus schreiben.
  7. Da keine Variable enthält, die vom Grenzwert beeinflusst wird, können wir den Wert aus dem Grenzwert faktorisieren.
  8. Wenn wir jetzt den Term in dem Grenzwert und die Limes-Definition von e vergleichen, stellen wir fest, dass beide identisch sind. Wir können nun den Grenzwert berechnen...
  9. ...und erhalten e als Ergebnis. Der natürliche Logarithmus hat e bereits als Basis und jetzt auch noch als Funktionswert. Gemäß der Definition des Logarithmus ist ln(e) = 1.
  10. Da 1 lediglich ein Faktor ist, wird er der Lesbarkeit halber weggelassen. Der Wert der übrig bleibt, ist , die Ableitung des natürlichen Logarithmus.

quod erat demonstrandum

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