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Differentialrechnung

Ableitung einer Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable im Exponenten steht. 2x, πx und ax sind alles Exponentialfunktionen. Die Funktion ex ist eine besondere Exponentialfunktion, wie wir in diesem Artikel noch sehen werden.

Ableitung einer Wurzel
Ableitungen von Wurzeln gehören zu den Aufgaben, wo am häufigsten Fehler gemacht werden. Dabei sind sie ganz einfach, wenn man weiß, wie es funktioniert.

Ableitungsregeln
hier  haben wir die wichtigsten Ableitungsregeln zusammengefasst.

Beweis für die Ableitung der Betragsfunktion
Beweis, dass die Ableitung der Betragsfunktion ist.

Beweis für die Ableitung des natürlichen Logarithmus
Hier der Beweis, dass x-1 die Ableitung des natürlichen Logarithmus (ln, vom lateinischen: logarithmus naturalis) ist.

Beweis für die Ableitung von asin(x)
Wir beweisen die Ableitung des Arkussinus, mit kompletter Herleitung und Erklärung.

Beweis für die Ableitung von cos(x)
Beweis, das -sin(x) die Ableitung von cos(x) ist

Beweis für die Ableitung von cosh(x)
Der Beweis, dass sinh(x) die Ableitung von cosh(x) ist. Anders als bei den trigonometrischen Funktionen hat weder der hyperbolische Sinus noch der Cosinus einen Vorzeichenwechsel, wenn sie abgeleitet werden. Daher ist der eine schlichtweg die Ableitung des anderen.

Beweis für die Ableitung von cot(x)
Beweis, dass -1/sin(x) die Ableitung des Cotangens ist, wenn sin(x) ≠ 0.

Beweis für die Ableitung von csc(x)
Beweis, dass -csc(x)·cot(x) die Ableitung des Cosekans ist.

Beweis für die Ableitung von sec(x)
Beweis, dass sec(x)·tan(x) die Ableitung des Sekans ist.

Beweis für die Ableitung von sin(x)
Beweis,  dass cos(x) die Ableitung von sin(x) ist

Beweis für die Ableitung von sinh(x)
Beweis, dass cosh(x) die Ableitung von sinh(x) ist.

Beweis für die Ableitung von tan(x)
Beweis, dass sec²(x) die Ableitung von tan(x) ist.

Beweis für die Ableitung von tanh(x)
Beweis, dass sech²(x) die Ableitung von tanh(x) ist.

Differentialquotient
Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten (mit dem er gerne verwechselt wird!). Er kann auch als die Steigung der Tangente an der Stelle x und damit als die momentane Änderungsrate interpretiert werden. Die Ableitung einer Funktion kann über den Differentialquotienten hergeleitet werden.

Differenzenquotient
Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der Sekante durch zwei Punkte auf dem Graphen von f. Dies sind die Punkte mit den x-Koordinaten (x; f(x)) und (x+h; f(x+h)). Der Differenzenquotient wird auch in der Definition der Ableitung verwendet.

Extremstellen, Extrempunkte
In der Analysis wird kaum einem Thema mehr Zeit gewidmet, als der Untersuchung von Funktionen. Das Finden von Extremstellen und Extrempunkten ist dabei ein wichtiger Teil. Aber auch darüber hinaus finden Extrema in vielen wissenschaftlichen Bereichen Anwedung. Diese Anwendungsaufgaben werden Extremwertaufgaben genannt.

Extremwertaufgaben
Für welche Maße hat ein Rechteck mit einem festen Umfang die größte Fläche? Wie viele Produkte müssen hergestellt werden, damit der Gewinn am größten ist? Wie muss eine Dose geformt sein, damit sie gleichzeitig am günstigsten zu produzieren ist und eine vorgegebene Menge an Flüssigkeit hält? All diese Fragen haben eines gemeinsam: sie suchen den besten, also optimalen, Wert einer Funktion.

Faktorregel
Die Faktorregel in der Differenzialrechnung erlaubt es, konstante Terme vor die Ableitung zu faktorisieren. Dies betrifft nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen, die nicht differenziert werden.

Formelsammlung: ableiten
Die wichtigsten Formeln zum Ableiten im Überblick: u, v und w sind Funktionen von x c ist eine konstante Funktion (z.B. f(x)=3) Allgemeine Regeln           Trigonometrische Funktionen   Hyperbolische Funktionen    

Funktionsschar, Kurvenschar
Eine Funktionsschar oder auch Kurvenschar genannt, ist eine Funktion, die neben dem Parameter x noch ein oder mehrere Variablen hat, mit dem die Funktion verändert werden kann. Ist die Funktion linear, spricht man auch von einer Gradenschar.

Kettenregel
Die Kettenregel hat ihren Namen daher, dass sie angewendet wird, um zwei oder mehrere miteinander verketteten Funktionen abzuleiten. Die Kettenregel ist aber gleichzeitig eine der wichtigsten und vielseitigsten Regeln der Differentialrechnung.

Maxima und Minima
Zu den wichtigsten Anwendungsgebieten der Differentialrechnung zählen Optimierungsprobleme. Gesucht wird die Lösung mit der ein Problem optimal (am besten) gelöst werden kann, wenn der Wert der Funktion sein Maximum oder Minimum erreicht.  

Normale
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Normale verläuft senkrecht (othogonal) zur Tangente an diesem Berührungspunkt. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.

Potenzregel
Die Potenzregel ist die grundlegendste Regel der Differentialrechnung. Sie ist meist auch die erste richtige Regel, mit der man in der Analysis konfrontiert wird, und auch die einzige Regel der Differentialrechnung, an die man sich nach vielen Jahren nach der Schule noch erinnern kann.

Produktregel
Die Produktregel (auch Leibnitz-Regel genannt) ist oft die erste komplexere Regel, die beim Ableiten gelehrt wird. Sie gilt für Funktionen, die aus zwei oder mehr Produkten bestehen.

Quotientenregel
Die Quotientenregel in der Differenzialrechnung ist eng verwandt mit der Produktregel.

Reziprokenregel
In der Differentialrechnung ist die Reziprokenregel eine Abkürzung, um die Ableitung einer Funktion zu finden, die der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion ist, ohne die Kettenregel oder die Quotientenregel anzuwenden.

Summenregel
Die Summenregel ist eine der grundlegendsten Regeln der Differentialrechung. Durch sie kann man die Ableitung einer Funktion finden, welche die Summe zweier weiterer Funktionen ist. Die Summenregel der Integration folgt aus ihr.

Tangente, Tangentengleichung aufstellen
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt und dabei die gleiche Steigung wie die Kurve hat.

Wendepunkt
Wenn eine Funktion von einer Links- auf eine Rechtskurve wechselt (oder umghekeht), kann man den genauen Punkt berechnen, in dem dies geschieht. Dieser Punkt ist der Wendepunkt.

Wendestellen, Wendepunkte
Wendepunkte sind besondere Punkte einer Kurve: Sie markieren eine Trendwende. Eine Funktion, die vorher fallend war, ist nach dem Wendepunkt steigend während eine Funktion die vorher steigend war, nach dem Wendepunkt fallend ist.

Wendetangente
Häufig fragen Aufgaben nicht nur nach der Tangente, sondern der Wendetangente. Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Sie hat die besondere Eigenschaft, dass sie eine Funktion meistens in mehr als einem einzigen Punkt schneidet. Denoch ist sie definitionsgemäß eine Tangente.

Mathematik für Schule und Studium