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Beweis für den Grenzwert von sin(x)/x für x gegen 0


Beweis, dass der Grenzwert von gleich 1 ist.

Beweis #1


Der erste Beweis wird mit die Regel von de l'Hopital geführt. Die Regel von de l'Hopital besagt, dass, wenn wir den Grenzwert eines Bruchs berechnen wollen, bei dem sowohl Zählen als auch Nenner gegen 0 konvergieren, dann können wir die Ableitung des Zählers und des Nenners bilden; der Grenzwert dieser Funktionen entspricht auch dem Grenzwert der Ausgangsfunktion. Daher gilt:

Wie man an dem Graphen (rechts) sehen kann, konvergiert cos(x) gegen 1, wenn sich x weiter 0 annähert. Der Grenzwert von und daher auch  ist 1.

Q.E.D

Beiweis #2


Für den zweiten Beweis verwenden wir die Definition des Sinus, so wie er über die Taylorreihe definiert ist (für eine genaue Erklärung und Herleitung siehe den Artikel Taylorreihe).

Sinus als Taylorreihe

Grenzwert bestimmen

Mit der Definition des Sinus als unendliche Reihe können wir den Sinus in dem Grenzwert  durch seine Reihendarstellung ersetzen:

  1. Wir ersetzen den Sinus aus dem Grenzwert durch seine Reihendarstellung
  2. Mit der Produktregel für Grenzwerte können wir aus dem einen Grenzwert zwei machen
  3. Durch die Anwendung der Regel von de l'Hopital können wir den Grenzwert bestimmen:
  4. Die Reihe lässt sich noch weiter vereinfachen
  5. Division durch 1
  6. Grenzwert berechnen. Wie man am Bruch (in der Summe) sehen kann, hat die Potenz im Zähler die Basis 0. Definitionsgemäß ist jede Potenz mit der Basis 0 gleich 1. Der Nenner hingegen hat eine Fakultät, die mit zunehmenden Werten von n immer schneller wächst...
  7. ...Die Summe beträgt damit 0
  8. Somit ist der Grenzwert gleich 1

Q.E.D.

Quellen

  1. Arens, T., Busam, R., Hettlich, F., Karpfinger, C. & Stachel, H. (2013). Grundwissen Mathematikstudium - Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen (2013. Aufl.). Berlin [u.a.]: Springer Spektrum.
  2. Velleman, D. J. (1994). How to prove it. A structured approach (1. Aufl.). Cambridge [England]: Cambridge University.
Mathematik für Schule und Studium