Beispiel einer Kurvendiskussion

Wir untersuchen in diesem Artikel die Funktion x⁴– 8 · x²+ 16 auf ihre Nullstellen bzw. Schnittstellen mit den Koordinatenachsen, Extremstellen, Minima, Maxima, Wendestellen, Sattelstellen, Monotonie, Verhalten im Unendlichen und Symmetrieeigenschaften. Diese Untersuchung ist eine Kurvendiskussion. Alle gefundenen Punkte werden im Graphen der Funktion eingetragen.

Ableitungen

Die ersten drei Ableitungen der Funktion sind:

f'(x) =	4 · x³-16 · x
f“(x) =	12 · x²-16
f“'(x) =	24 · x

Schnittstellen mit den Koordinatenachsen

Zuerst berechnen wir die Schnittstellen mit der y-Achse. Dazu berechnen wir f(0):

f(0) = 16 ⇒ S_y(0; 16)

Dann die Nullstellen:

f(x) =	0
⇒ x₁ =	-2
x₂ =	2

Extremstellen

Um die Extremstellen zu berechnen, müssen wir zunächst die erste Ableitung Null setzen (notwendige Bedingung):

f'(x) =	0
⇒ x_E1 =	-2
x_E2 =	0
x_E2 =	2

Dies sind allerdings nur mögliche Extremstellen. Um zu überprüfen, ob es sich dabei wirklich um Extremstellen handelt, müssen noch die gefunden Stellen in die zweite Ableitung eingesetzt werden und diese muss ungleich Null sein (hinreichende Bedingung).

f“(x_E1) =	32	⇒	Extremstelle
f“(x_E2) =	-16	⇒	Extremstelle
f“(x_E2) =	32	⇒	Extremstelle

Alle drei Stellen, welche die notwendige Bedingung erfüllen, erfüllen auch gleichzeitig die hinreichende Bedingung. Daher sind alle Stellen auch Extremstellen.

Minima / Maxima

Um die Minima und Maxima, also die Hoch- und Tiefpunkte, zu berechnen, benötigen wir die Extremstellen, die wir vorher berechnet haben. Diese werden wieder in die zweite Ableitung eingesetzt. Ist der Funktionswert kleiner als 0, dann liegt ein Hochpunkt vor, ist er größer als 0, dann ein Tiefpunkt.

Um die y-Koordinate des Punktes zu berechnen, müssen wir die Extremstelle in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen, nicht in eine Ableitung!

f“(x_E1) >	⇒	Tiefpunkt T₁(-2; 0)
f“(x_E2) <	⇒	Hochpunkt H₁(0; 16)
f“(x_E2) >	⇒	Tiefpunkt T₂(2; 0)

Wendepunkte

Für Wendepunkte benötigen wir die zweite und dritte Ableitung. Zuerst müssen wir die zweite Ableitung gleich Null setzen:

f“(x) =	0
⇒ xW1 =	@@ -2 /sqrt(3) @@
xW2 =	@@ 2 /sqrt(3) @@

Die Wendestellen überprüfen wir noch mit der dritten Ableitung. Die y-Koordinate wird wieder durch einsetzen der Wendestelle in f(x) berechnet:

f“'(xW1) ≠	0	⇒	Wendepunkt @@ W_1(-2/sqrt(3) pipe 64/9) @@
f“'(xW2) ≠	0	⇒	Wendepunkt @@ W_2(2/sqrt(3) pipe 64/9) @@

Sattelpunkte

Sattelstellen sind Stellen die sowohl in der ersten wie auch in der zweiten Ableitung Null ergeben. Wir stellen fest, dass die Lösungsmenge leer ist.

Verhalten im Unendlichen

Da es sich bei unserer Beispielfunktion um ein Polynom handelt, müssen wir beim Verhalten für x gegen ±∞ den Term mit der höchsten Hochzahl betrachten. Dies ist x⁴. Bei Polynomen gilt für x gegen +∞ ist xⁿ immer positiv, daher ist der Limes abhängig von Koeffizienten an:

\( \lim_{x\to +\infty}a_n{x^n}=\begin{cases}+\infty & \text{wenn }a_n\text{ positiv ist} \\ -\infty & \text{wenn }a_n\text{ neagtiv ist}\end{cases} \)

Für x gegen -∞ müssen wir zusätzlich zum Vorzeichen des Koeffizienten auch noch berücksichtigen, ob n gerade oder ungerade ist.

\( \lim_{x\to -\infty}a_n{x^n}=\begin{cases}+\infty & \text{wenn }a_n\text{ positiv ist und }n\text{ gerade} \\ -\infty & \text{wenn }a_n\text{ positiv ist und }n\text{ ungerade} \\-\infty & \text{wenn }a_n\text{ negativ ist und }n\text{ gerade} \\ +\infty & \text{wenn }a_n\text{ negativ ist und }n\text{ ungerade} \\ \end{cases} \)

Daher verhält sich unsere Funktion wie folgt im Unendlichen:

\( \lim_{x\to +\infty}x^4-8x^2+16 \;=\;+\infty \qquad\text{ und }\qquad \lim_{x\to -\infty}x^4-8x^2+16 \;=\;+\infty \)