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Analysis

Beispiel einer Kurvendiskussion
Wir untersuchen in diesem Artikel die Funktion x4 - 8·x2 + 16 auf ihre Nullstellen bzw. Schnittstellen mit den Koordinatenachsen, Extremstellen, Minima, Maxima, Wendestellen, Sattelstellen, Monotonie, Verhalten im Unendlichen und Symmetrieeigenschaften. Diese Untersuchung ist eine Kurvendiskussion. Alle gefundenen Punkte werden im Graphen der Funktion eingetragen.

Beweis für den Grenzwert von sin(x)/x für x gegen 0
Beweis, dass der Grenzwert von gleich 1 ist.

Grenzwerte
Der Grenzwert einer Funktion ist das grundlegende Konzept, das Analysis von Algebra und der analytischen Geometrie abgrenzt. Daher ist der Begriff des Grenzwerts maßgeblich für das Erlernen weiterer Methoden und Verfahren der Infinitesimalrechnung. Grenzwerte werden aufgrund dessen meistens vor der Differential- und Integralrechnung durchgenommen, da beide Konzepte Grenzwerte in ihrer Definition benötigen.

Kurvendiskussion
Bei einer Kurvendiskussion (auch Kurvenuntersuchung genannt), wird eine Funktion auf ihre geometrischen Eigenschaften hin untersucht. Dabei lassen sich diese Eigenschaften in Form von einigen markanten Punkten zusammenfassen. Abgeschlossen wird eine Kurvendiskussion meistens mit einer Skizze der Funktion, in der alle gefundenen Punkte eingetragen werden.

Regel von de l’Hospital
Nehmen wir einmal an, dass wir den Grenzwert der Funktion bestimmen wollen. Normalerweise würde man schauen, wie sich Zähler und Nenner verhalten, wenn sie sich dem Punkt nähern. Was aber, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner wachsen? Setzt sich in unserem Beispiel der Zähler durch, wäre der Grenzwert ∞. Setzt sich hingegen der Nenner durch, wäre 0 das Ergebnis. Konvergieren dagegen beide zu einem Punkt hin, wäre der Grenzwert eine endliche Zahl.

Taylorreihe
Eine Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist, bildet eine Taylorreihe. Taylorreihen werden benutzt, um den Wert einer Funktion an einer Stelle näherungsweise zu berechnen (approximieren). So benutzen die meisten Taschenrechner beispielsweise Taylorreihen, um den Sinus und andere trigonometrische Funktionen zu berechnen, da eine genaue Berechnung zu rechenintensiv wäre.

Mathematik für Schule und Studium