Wendestellen, Wendepunkte

Wendepunkt W Wendepunkte sind besondere Punkte einer Kurve: Sie markieren eine Trendwende. Eine Funktion, die vorher fallend war, ist nach dem Wendepunkt steigend während eine Funktion die vorher steigend war, nach dem Wendepunkt fallend ist.

Wendepunkte werden unter anderem in der Analyse wirtschaftlicher Daten eingesetzt um zu bestimmen, ob eine signifikante Veränderung in der Entwicklung eines Unternehmens, einer Branche oder geopolitischen Situation erfolgt ist.

Definition

Der Punkt W auf der Kurve f(x) heißt Wendepunkt, wenn f dort stetig ist und von einer Links- in eine Rechtskurve bzw. von einer Rechts- in eine Linkskurve übergeht.

Wendestellen berechnen

\( \large{ \begin{array}{l}\xplain{\text{notwendiges Kriterium}} \\ f^{\prime\prime}(x_W)=0 \\ \xplain{\text{hinreichendes Kriterium}} \\ f^{\prime\prime}(x_W)=0 \quad\mathrm{und}\quad f^{\prime\prime\prime}(x_W)\neq 0 \end{array} } \)

Damit eine Stelle auch eine Wendestelle ist, müssen zwei Kriterien erfüllt werden: das notwendige und das hinreichende Kriterium (siehe links).

Wir benötigen also zur Berechnung von Wendestellen die zweite und die dritte Ableitung. Die erste Ableitung muss auf Null gesetzt werden, während die dritte Ableitung an der selben Stelle nicht Null sein darf.

Beispiel

Finde alle Wendestellen der Funktion f(x) = x³+3x²-1

Zuerst müssen wir die zweite und dritte Ableitung bestimmen. Dazu müssen wir, wenn wir nicht gerade einen Taschenrechner zur Hand haben, auch noch die erste Ableitung bestimmen:

\( \begin{align} f^\prime\br{x} &= 3x^2+6x \\ f^{\prime\prime}\br{x} &= 6x+6 \\ f^{\prime\prime\prime}\br{x} &= 6 \end{align} \)

Als nächstes müssen wir die zweite Ableitung gleich Null setzen:

\( \begin{align} f^{\prime\prime}\br{x} &= 0 \\ \Rightarrow x_W &= -1 \end{align} \)

Damit hätten wir das notwendige Kriterium erfüllt. x_W ist eine potentielle Wendestelle. Um dies allerdings zu überprüfen, müssen wir noch x_W in die dritte Ableitung einsetzen. Ist der Wert ungleich 0, handelt es sich bei x_W um eine Wendestelle:

\( \begin{align} f^{\prime\prime\prime}\br{x_W} &= 6 \\ \Rightarrow 6 &\neq 0 \Rightarrow \text{Es handelt sich bei } x_W \text{ um eine Wendestelle.} \end{align} \)

Ist nicht die Wendestelle, sondern der Wendepunkt gefragt, muss der Wert von x_W noch in die Ausgangsfunktion f(x) eingesetzt werden. Achtung: x_W darf nicht in eine Ableitung eingesetzt werden!

W(x_W; f(x_W)) = W(6, 323)

Sollte eine Funktion mehrere Wendepunkte haben, werden diese mit einem Index unter dem W gekennzeichnet: W₁, W₂, W₃, …