Verkettung von Funktionen
Zwei Funktionen – f und g – können auf verschiedene Arten kombiniert werden, um eine neue Funktion zu definieren. f+g, f-g, f · g, f/g, – ähnlich wie wir Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren können. Wenn f und g allerdings in der Form f(g(x)) miteinander verknüpft werden, spricht man von Verkettung (manchmal auch Komposition, Hintereinanderschaltung oder Hintereinanderausführung genannt).
Die Verkettung zweier Funktionen wird definiert als:
Wird gelesen als: g verkettet mit f oder die Komposition von f und g.
f ist die „äußere Funktionen“, g die „innere Funktion“.
Wie die Grafik links deutlich macht, ist die Verkettung von zwei Funktionen ein zweistufiger Prozess. Aufpassen: Auch wenn das f als erstes geschrieben wird, werden die Funktionen von rechts nach links aufgerufen.
Zuerst wird das Funktionsargument x in die Funktion f eingegeben. Als Funktionswert erhalten wir erwartungsgemäß g(x). g(x) wiederum wird nun in die Funktion f(x) eingegeben. Wir erhalten als Funktionswert und auch als Resultat f(g(x)).
Auch wenn es für uns meistens nur von Interesse ist, zwei Funktionen miteinander zu verketten, so ist es möglich, dies mit einer beliebigen Anzahl an Funktionen zu tun. Die Schreibweise hierfür ist die selbe. Würden wir drei Funktionen miteinander verketten, sähe das so aus:
Die Verkettung von Funktionen ist ein wichtiger Teil der Analysis, wo häufig erkannt werden muss, dass eine Funktion als Verkettung von zwei einfacheren Funktionen geschrieben werden kann. Die Kettenregel aus der Differentialrechnung hat daher auch ihren Namen.
Verkettete Funktionen erkennen
Besonders in der Differentialrechnung, bei der Anwendung der Kettenregel, aber auch in der Integralrechnung, bei der Anwendung von Integration durch Substitution, müssen zwei miteinander verkettete Funktionen erkannt werden.
Das Erkennen von verketteten Funktionen ist eigentlich nicht mehr als das Erkennen von Mustern. Wenn in einer Funktion eine der folgenden „Muster“ auftaucht, kann sie in Form von zwei mit einander verketteten Funktionen geschrieben werden:
- Exponenten um Klammern, z.B. (x+1)³
- e-Funktionen
- Wurzeln
- Logarithmen
- Trigonometrische Funktionen
Nehmen wir als Beispiel (x+1)³. Eine Funktion wäre f(x) = x³, die andere g(x) = x+1. Setzen wir g(x) in f(x) ein, so erhalten wir wieder unsere Ausgangsfunktion (x+1)³.
Grenzwert von verketteten Funktionen
Auch bei der Grenzwertbestimmung können verkettet Funktionen helfen.
Seien f und g zwei Funktionen, für die gilt: \( \lim_{x\to c}g(x) = L \) und \( \lim_{x\to L}f(x) = f(L) \) dann gilt: