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Stetigkeit von Funktionen


Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen. Die meisten Funktionen, mit denen man in der Oberstufe zu tun hat, sind stetig. Kann man den Graphen einer Funktion zeichnen, ohne dabei den Stift neu ansetzen zu müssen ist die Funktion i.d.R. stetig. Leider ist diese doch sehr einfache Definition nicht sehr mathematisch und damit auch nicht immer korrekt.

Mathematisch gesehen, wird Stetigkeit mithilfe des Grenzwerts definiert:

Merke:

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle a stetig wenn gilt:

Gründe für Unstetigkeit


Es gibt drei Gründe, weshalb eine Funktion f(x) an einer Stelle c nicht stetig ist. Ein weißer Punkt gibt an, dass die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Ein schwarzer Punkt wiederum, dass die Funktion dort definiert ist.

stetigkeit01 stetigkeit02 stetigkeit03
 f(x) ist an der Stelle c nicht definiert  Der Grenzwert existiert nicht.
Man spricht von einer Sprungstelle
Der Grenzwert stimmt nicht dem Funktionswert überein:

Wenn keine der drei Kriterien auf eine Funktion zutrifft, gilt sie als stetig an der Stelle c. Man kann daher schlussfolgern, dass f(x) an der Stelle c stetig ist, wenn folgende drei Bedingungen zutreffen:

Merke:

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle c stetig, wenn gilt:

  1. f(c) ist definiert
  2. existiert

Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit


Eine Funktion kann auch von der linken Seite aus betrachtet stetig sein, von der rechten Seite aus dagegen nicht. Dies kann mathematisch mithilfe von einseitigen Grenzwerten bestimmt werden. Ein einseitiger Grenzwert nähert sich dem Wert nur von einer Seite. Deshalb unterscheidet man auch zwischen einem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert. Man beachte die Schreibweise:

 

Linksseitiger Grenzwert Rechtsseitiger Grenzwert
 

Beim linksseitigen Grenzwert ist ein hochgestelltes Minuszeichen zu sehen. Es bedeutet, dass sich der Grenzwert c mit Werten nähert, die kleiner als c sind, daher von der linken Seite. Analog dazu steht beim rechtsseitigen Grenzwert an gleicher Stelle ein Pluszeichen. Man nähert sich c mit Werten die größer als c sind an.

Beispiel 

Unterhalb ist ein Graph der Funktion  zu sehen. Da das Teilen durch Null nicht definiert ist – und der Zähler für x=2 null wird – hat die Funktion an der Stelle x=2 eine Polstelle.


Linkseitiger Grenzwert Rechtsseitiger Grenzwert

Mathematik für Schule und Studium