Logistische Funktion
Eine Exponentialfunktion f(x)=a · ek · x geht davon aus, das eine Größe ungehindert weiter wächst. Meistens wird diese Funktion verwendet, um die Vermehrung von Bakterien durch Zellteilung zu beschreiben. Doch Zellteilung unterliegt auch limitierenden Faktoren, wie z.B. der Verfügbarkeit von Nährstoffen. Ein logistisches Modell beschreibt diesen Sachverhalt wesentlicher genauer, nämlich als einen Sachverhalt, bei dem das Wachstum oder der Zerfall der abhängigen Variablen begrenzt ist.
Definition
In dem logistischen Modell wird die Größe der Population P zu dem Zeitpunkt t wiedergegeben.
a, b und c sind Konstanten für die gilt: a > 0 und c > 0. Ist b > 0, dann beschreibt das Modell Wachstum; bei b < 0 Zerfall.
Eigenschaften
- Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Der Wertebereich ist abhängig von der Definition der Funktionsvorschrift.
- Es gibt keine Schnittstellen mit der x-Achse. Der y-Achsenabschnitt ist P(0).
- Es gibt zwei horizontale Asymptoten: eine bei y=0 und die zweite bei y=c
- Die Funktion hat einen Wendepunkt bei \( \dfrac{1}{2}c \)
Beispiel
Eine Schule hat insgesamt 3.000 Schülerinnen und Schüler. Ein Schüler hat die Grippe bekommen und bleibt nicht zuhause. Wir gehen davon aus, dass keiner der Schüler Grippeimpfungen bekommen hat und alle anfällig für das Virus sind. Die Ausbreitung des Virus folgt einer logistischen Kurve, die durch folgende Formel beschrieben wird:
wobei P die Anzahl der Personen ist, die sich infiziert haben und t die Anzahl der Tage ist. Wie viele Menschen haben sich nach 10 Tagen infiziert?
Nach 10 Tagen haben sich 54 Schüler mit dem Grippevirus infinziert.