Logarithmusgleichungen lösen
Gleichungen, die Logarithmen enthalten, sind Logarithmusgleichungen. In dem Ausdruck loga(x) sind a ≠ 1 und x > 0. Einige Logarithmusgleichungen können durch Verwendungen der Logarithmusgesetze gelöst werden. In der Regel muss ein Ausdruck, der aus mehreren Logarithmen besteht, so umgeschrieben werden, dass nur noch ein Logarithmus vorkommt.
Beispiel 1
Löse die Logarithmusgleichung log10(4x + 5) = 2
| log10(4x + 5) | = | 2 | Mit der Basis des Logarithmus exponieren (hier: 10) |
| 10log10(4x + 5) | = | 102 | Mit dem Logarithmusgesetz umschreiben |
| 4x + 5 | = | 102 | -5 |
| 4x | = | 100 - 5 | ÷4 |
| x | = | \( \frac{95}{4} \) = 23,75 | -5 |
Beispiel 2
Löse die Logarithmusgleichung log10(x + 3) + log10(x) = 1
| log10(x + 3) + log10(x) | = | 1 | Logarithmen zusammenziehen |
| log10(x[x + 3]) | = | 1 | Mit der Basis des Logarithmus exponieren |
| 10log10(x[x + 3]) | = | 101 | Mit dem Logarithmusgesetz umschreiben |
| x(x + 3) | = | 10 | Ausmultiplizieren |
| x2 + 3x | = | 10 | -10 |
| x2 + 3x - 10 | = | 0 | Faktorisieren |
| (x - 2)(x + 5) | = | 0 | Lösen |
| => | x1 = 2, x2 = -5 | ||
Zwar hat diese Gleichung zwei Lösungen, allerdings ist der Logarithmus einer negativen Zahl nicht definiert, wie es bei x2 = -5 der Fall wäre. Dies können wir einfach durch erneutes Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüfen. Daher hat diese Logarithmusgleichung nur die Lösung x1 = 2
Beispiel 3
Löse die Logarithmusgleichung ln(x - 3)+ln(x - 2) = ln(12x + 24)
| ln(x - 3)+ln(x - 2) | = | ln(12x + 24) | Die Summe zweier Logarithmen gleicher Basis als Produkt eines Logarithmus zusammenfassen |
| ln((x - 3) · (x - 2)) | = | ln(12x + 24) | Alle Logarithmen auf eine Seite bringen |
| ln((x - 3) · (x - 2)) - ln(12x + 24) | = | 0 | Die Differenz zweier als Quotienten eines Logarithmus zusammenfassen |
\( \ln\left({\dfrac{({x-3})\cdot({x-2})}{12x+24}}\right ) \) |
= | 0 | Mit der Basis (hier e) exponieren und die Logarithmen auflösen |
\( {\dfrac{({x-3})\cdot({x-2})}{12x+24}} \) |
= | 1 | Beide Seiten mit 12x + 24 multiplizieren |
| (x - 3)(x - 2) | = | 12x + 24 | Die linke Seite ausmultiplizieren |
| x2 - 5x + 6 | = | 12x + 24 | 12x + 24 von beiden Seiten subtrahieren |
| x2 - 17x - 18 | = | 0 | Die Gleichung faktorisieren |
| (x - 18)(x + 1) | = | 0 | Dadurch können wir die Gleichung in zwei neue Gleichungen aufteilen |
| x - 18 = 0 oder x + 1 = 0 | Gleichungen lösen | ||
| x = 18 oder x = -1 | Lösungen erneut in die Gleichung einsetzen und überprüfen | ||
| x = 18 |
Durch erneutes Einsetzen stellen wir auch hier fest, dass es nur eine Lösung gibt, nämlich x = 18.