Logarithmusgesetze

Es gibt einige wichtige Logarithmusgesetze, die es uns erlauben, Terme mit Logarithmen umzuschreiben, sodass sie äquivalent bleiben. Die Basis der verwendeten Logarithmen muss dabei gleich sein, um das entsprechende Gesetz anzuwenden. Viele der Logarithmusgesetze leiten sich von den Potenzgesetzen ab.

Logarithmusgesetze

Bezeichnung	Regel
Produktregel	\( \log_a\big(u\big)+\log_a\big(v\big) \;\;=\;\; \log_a\big(u\cdot v\big) \)
Quotientenregel	\( \log_a\big(u\big)-\log_a\big(v\big) \;\;=\;\; \log_a\br{\frac{u}{v}} \)
Potenzregel	\( \log_a\big(x^n\big) \;\;=\;\; n\cdot\log_a\big(x\big) \) \( \log_a\big(\sqrt[n]{x}\,\big) \;\;=\;\; \log_a\big(x^{\frac{1}{n}}\big) \;\;=\;\; \frac{1}{n}\cdot\log_a\big(x\big) \)
Umrechnung der Logarithmusbasis	\( \log_n\big(x\big) \;\;=\;\; \frac{\log_m\big(x\big)}{\log_m\big(n\big)} \)
weitere Eigenschaften von Logarithmen	\( \log_n\big(n\big) \;\;=\;\; 1 \) \( \log_n\big(1\big) \;\;=\;\; 0 \) \( \log_n\big(n^x\big) \;\;=\;\; x \) \( n^{\log_n(x)} \;\;=\;\; x \)

Das Logarithmusgesetz zur Umrechnung von Basen ist vor allem für Taschenrechner wichtig, die nur eine einzige Logarithmusbasis haben.

Kürzen von Exponenten

\( \Large{ {x_1}^{x_2} = b^{x_2\cdot\log_b(x_1)} } \)

Dieses Gesetz kann verwendet werden, um beliebige Exponenten auf eine bestimmte Basis umzuschreiben. Will man beispielsweise eine Funktion ableiten, die sowohl x in der Basis als auch im Exponenten hat, so kann diese Regel angewandt werden, um die Funktion zur Basis e umzuschreiben. Die entstandene Exponentialfunktion lässt sich dann mit einfachen Mitteln ableiten.

Wählt man als Basis e, so erhält man:

\( \Large{ {x_1}^{x_2} = e^{x_2\cdot\ln(x_1)} } \)

Antilogarithmus

Multiplikation

\( \large{ x \cdot y \;\;=\;\; a^{\log_a\!x} \cdot a^{\log_a\!y} \;\;=\;\; a^{\log_a\!x + \log_a\!y} } \)

Division

\( \large{ \frac{x}{y} \;\;=\;\; \frac{a^{\log_a\!x}}{a^{\log_a\!y}} \;\;=\;\; a^{\log_a\!x – \log_a\!y} } \)