MatheGuru Logo

Kartesisches Koordinatensystem


Für viele ist das kartesische Koordinatensystem das einzige Koordinatensystem, das sie kennen. Genau wie ein Punkt auf dem Zahlenstrahl durch eine einzige Zahl identifiziert wird, braucht man im 2-dimensionalen Raum zwei Koordinaten. Punkte auf der Ebene können mit einem geordneten Zahlenpaar eindeutig lokalisiert werden.

Aussehen


koordinatensystem03Das kartesische Koordinatensystem besteht aus zwei orthogonal zueinander stehenden Achsen. Sie schneiden sich im Punkt O(0; 0) dem Ursprung (oder auch Origo) und erstrecken sich in die Unendlichkeit. Die vertikale Achse wird y-Achse oder Ordinatenachse genannt. Die horizontale Achse ist die x-Achse bzw. Abzissenachse. Geht man entlang der y-Achse nach oben, so werden die Zahlen größer. Geht man an der Achse hingegen nach unten, so nehmen die Zahlen in ihrem Wert ab. Analog verhält sich die x-Achse: je weiter rechts man geht, desto größer werden die Zahlen; nach links hin werden sie kleiner.

Dadurch, dass die beiden Koordinatenachsen sich schneiden, entstehen vier voneinander getrennte Abschnitte in der Ebene. Sie werden als Quadranten bezeichnet. Der erste Quadrant liegt rechts oben. Die weiteren Quadranten werden gegen den Uhrzeigensinn nummeriert – meistens mit römischen Ziffern. In jedem Quadrant haben die Koordinaten ein anderes Vorzeichen:

  1. (+; +)
  2. (-; +)
  3. (-; -)
  4. (+; -)

 

koordinatensystem04Jeder Punkt im Raum entspricht einem geordneten Zahlenpaar, das aus der x-Koordinate und der y-Koordinate besteht. Punkte werden meistens als Großbuchstabe geschrieben, gefolgt von Klammern. Die erste Zahl entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate. Beide Zahlen werden i.d.R. entweder mit einem Semikolon (;), einem senkrechten Strich (|) oder einfach einem Leerzeichen getrennt. All die folgenden Beispiele sind gültige Punkte:

  • P1(1; 2)
  • P2(-1 | -2)
  • P3(-¼ 5)

Am wenigsten empfiehlt sich ein Leerzeichen zum Trennen der beiden Koordinaten zu nehmen, da dies eventuell zu Verwechslungen führen kann – vor allem bei handschriftlichen Arbeiten. Wie man an dem Beispiel auch sehen kann, können mehrere Punkte mit selben Buchstaben durch einen tiefgestellte Zahl voneinander unterschieden werden.

 

Punkte im Raum auftragen


Will man zu einem geordneten Zahlenpaar den zugehörigen Punkt im Raum finden, so fängt man am besten bei dem ersten Wert, der x-Koordinate, an. Auf der x-Achse findet man den Wert sehr gut mit Hilfe eines Lineals.

Zur Übung haben wir ein Applet bereitgestellt. Einfach den roten Punkt mit der Maus an die richtige Stelle ziehen. Sobald das Ergebnis stimmt, wird der Punkt grün. (Das Applet benötigt Microsoft Silverlight, welches kostenlos von Microsoft heruntergeladen werden kann.)

Get Microsoft Silverlight

Mathematik für Schule und Studium