Hyperbelfunktionen

Gewisse gerade und ungerade Kombinationen der Exponentialfunktion e^x und e^-x werden so häufig in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten verwendet, dass sie eigene Bezeichnungen bekommen haben. In vielerlei Hinsicht sind sie verwandt mit den trigonometrischen Funktionen und sie haben zur Hyperbel das selbe Verhältnis, das die trigonometrischen Funktionen zum Kreis haben. Aus diesem Grund werden sie Hyperbelfunktionen genannt.

Insgesamt gibt es sechs Hyperbelfunktionen, deren Benennung analog zu den trigonometrischen Funktionen erfolgt.

\( \sinh(x) = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \)

Sinus Hyperbolicus

\( \mathrm{csch}(x) = \dfrac{1}{\sinh(x)} =\dfrac{2}{{e}^{x}-{e}^{-x}} \)

Kosekans Hyperbolicus

\( \cosh(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \)

Kosinus Hyperbolicus

\( \mathrm{sech}(x) = \dfrac{1}{\cosh(x)} = \dfrac{2}{{e}^{x}+{e}^{-x}} \)

Sekans Hyperbolicus

\( \tanh(x) = \dfrac{\mathrm{sinh}\left( x\right) }{\mathrm{cosh}\left( x\right) } = \dfrac{{e}^{2\,x}-1}{{e}^{2\,x}+1} \)

Tangens Hyperbolicus

\( \mathrm{coth}(x) = \dfrac{\mathrm{cosh}\left( x\right) }{\mathrm{sinh}\left( x\right) } = \dfrac{{e}^{2\,x}+1}{{e}^{2\,x}-1} \)

Kotangens Hyperbolicus

Anwendung

Hyperbelfunktionen werden vor allem im wissenschaftlich-physikalischen Zusammenhang verwendet, immer dort wo Geschwindigkeit, Licht, Hitze oder Radioaktivität nach und nach absorbiert wird oder sich verringert, da Zerfall mit diesen Funktionen dargestellt werden kann. Ein weit verbreitetes Beispiel, das häufig auch in der Schule benutzt wird, um Anwendungsgebiete der Hyperbelfunktionen anschaulich darzustellen, sind die Seile die zwischen zwei Pfeilern (gleiche Höhe) gespannt werden. Die Kurve, die sich daraus ergibt – auch Kettenkurve genannt – lässt sich durch die hyperbolischen Funktionen darstellen.

Beispiel einer Kettenkurve

\( \large{ a \cdot \cosh\br{\dfrac{x}{a}} } \)