Funktionstypen

Hier stellen wir eine Reihe von verschiedenen Funktionstypen vor. Wie wir sehen werden, hat jede Funktionsart einen für sie charakteristischen Graphen.

Polynome

Eine Funktion P ist ein Polynom wenn sie folgende Bedingung erfüllt:

\( P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0 \)

wobei n≠0 ist. Die Zahlen a₀, a₁, …, a_n sind Konstanten, welche als Koeffizienten des Polynoms bezeichnet werden. Der Definitionsbereich des Polynoms ist @@ DD=RR @@. Ein weiteres wichtiges Merkmal eines Polynoms ist der Grad. Der Grad eines Polynoms ist der höchste Koeffizient. Beispielsweise hat das Polynom:

@@ P(x)=x^5+5/7x^4-9x^2+sqrt(3) @@

den Grad 5. Ein Polynom von Grad 1 ist eine lineare Funktion und wird in der Form \( P(x)=mx+b \), wobei m als Steigung und b als y-Achsenabschnitt bezeichnet wird. Ein Polynom von Grad 2 wird als quadratische Funktion bezeichnet und so \( P(x)=ax^2+bx+c \) geschrieben. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wenn a negativ ist, ist die Parabel nach unten hin geöffnet. Ist a positiv, ist die Parabel nach oben hin geöffnet.


a > 0	a < 0

Merke:

Polynome vom Grad n haben n Lösungen, allerdings nur in @@ CC @@. Ein Polynom von Grad n kann daher in @@ RR @@ zwischen 0 und n Lösungen haben.

Potenzfunktionen

Eine Funktion in der Form \( f(x)=a\cdot x^b,\quad a,b \in \mathbb{R} \)

a ist eine natürliche Zahl

Das Aussehen des Graphen von f(x)=xⁿ wird dadurch bestimmt, ob n gerade oder ungerade ist. Wenn n gerade ist, ist der Graph dem einer Parabel ähnlich. Ist n ungrade, gleicht der Graph dem von f(x)=x³. Wie man anhand der Beispielgraphen unten sehen kann, verändert sich das Aussehen des Graphen, umso größer n wird: der Graph wird flacher in der Nähe des Ursprungs und steiler wenn |x|≥1.


f(x)=x	f(x)=x²	f(x)=x³	f(x)=x⁴	f(x)=x⁵

a=1/n, wobei n eine natürliche Zahl

Die Funktion \( f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1\over n} \) nennt man Wurzelfunktion. Für n=2, ist f(x) die Quadratwurzelfunktion. Der Definitionsbereich von f(x) ist @@ [0, oo) @@ wenn n gerade ist und @@ RR @@ wenn n ungerade ist. Die Graphen aller Wurzelfunktionen gehen durch den Punkt (1|1).


\( \large{ \sqrt{x} } \)	\( \large{ \sqrt[3]{x} } \)	\( \large{ \sqrt[4]{x} } \)	\( \large{ \sqrt[5]{x} } \)

Die Kehrwertfunktion: f(x)=x^-1

Der Graph der Funktion \( f(x)=x^{-1} = \frac{1}{x} \) wird als Hyperbel bezeichnet. Die Funktion hat zwei Asymptoten: die beiden Koordinatenachsen.

Die Funktion hat eine Vielzahl von Anwendungen in Physik, Biologie, Chemie und Technik.

Ganzrationale Funktionen

Eine ganzrationale Funktion ist das Verhältnis von zwei Polynomen:

\( \large{ f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)},\quad Q(x)\neq 0 } \)

Der Definitionsbereich von f(x) ist \( Q(x) \neq 0 \). Das einfachste Beispiel für eine rationale Funktion ist \( f(x)=\frac{1}{x} \) (siehe Graph oben), dessen Definitionsbereich \( \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus 0 \). Ein weiteres Beispiel für eine ganzrationale Funktion ist:

\( f(x) = \dfrac{{x}^{2}+6\,x-16}{4\,{x}^{2}-8\,x-32} \)

Der Definitionsbereich hier ist \( \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-2 | 4\right\} \).

Algebraische Funktionen

Eine Funktion f wird als algebraische Funktion bezeichnet, wenn sie durch algebraische Operationen (wie z.B. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, etc.) erzeugt werden kann. Jede rationale Funktion ist automatisch auch eine algebraische Funktion. Hier sind einige weitere Beispiele:

@@ g(x)=sqrt((x+10)/(4*x+8))+7x^3 @@

\( h(x)=\sqrt{12\,{\left( \frac{10x\,\sqrt{69947}}{{3}^{\frac{3}{2}}}-490x\right) }^{\frac{2}{3}}+147\,{\left( \frac{10\,\sqrt{69947}}{{3}^{\frac{3}{2}}}-490\right) }^{\frac{1}{3}}-320x} \)

Trigonometrische Funktion

Zu den trigonometrischen Funktionen gehören sin(x), cos(x) und tan(x) sowie sin^-1(x), cos^-1(x) und tan^-1(x) und alle Funktionen, die sich daraus ableiten. Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen, ihre Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.


sin(x)	cos(x)	tan(x)

Exponentialfunktionen

Funktionen in der Form f(x)=a^x werden als Exponentialfunktionen bezeichnet, wobei die Basis a eine positive Konstante ist. Im Gegensatz zu Potenzfunktionen, bei denen die Basis variabel ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent variable und die Basis konstant. Exponentialfunktionen sind für \( (-\infty | \infty) \) definiert und ihre Graphen gehen immer durch den Punkt (0 | 1).

Natürliche Exponentialfunktionen sind Funktionen deren Basis die Euler’sche Zahl e ist. Jede Exponentialfunktion lässt sich in Form einer natürlichen Exponentialfunktion ausdrücken:

\( a^x=e^{x\cdot\ln\br{a}} \)

Logarithmische Funktionen

Die allgemeine logarithmische Funktion lautet \( f(x)=\log_a\br{x} \) wobei die Basis a eine positive Konstante ist. Logarithmische Funktionen sind die Umkehrfunktionen (inverse Funktionen) von Exponentialfunktionen. Der Definitionsbereich von logarithmischen Funktionen ist \( (0 | \infty) \) und der Wertebereich ist \( (-\infty | \infty) \).

Auch wenn die Basis des Logarithmus variabel ist, unterscheidet man zwischen folgenden, fest definierten Logarithmen:

ln(x) – logarithmus naturalismus, der natürliche Logarithmus zur Basis e
lg(x) bzw. log₁₀(x) – dekadischer Logarithmus. In deutschen, russischen und den meisten amerikanischen Fachbüchern wird unter lg(x) der Logarithmus zur Basis 10 verstanden. Allerdings gibt es darüber hinaus auch eine abweichende Definition, bei der lg(x) der Logarithmus zur Basis 2 ist. Es ist deshalb wichtig zu wissen, welcher Logarithmus genau gemeint ist.
lb(x) bzw. log₂(x) – binärer Logarithmus, also Logarithmus zur Basis 2. Wird nicht sehr häufig benutzt.