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Fakultät


n! (gesprochen: "n Fakultät") ist die Abkürzung für das Produkt der natürlichen Zahlen, angefangen bei n, bis zu 1.

Definition

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ist n ist wie folgt definiert:

Faktultätlange SchreibweiseErgebnis
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
3! = 3 · 2 · 1 = 6
2! = 2 · 1 = 2
1! = 1 = 1
0! = 1 = 1

 

Wie man sehen kann, stellt die Zahl 0 einen Sonderfall dar. Diese Definition ist allerdings notwendig. Man kann es sich so erklären, dass – würde man es anders definieren – so würde dies mehr Probleme in verschiedenen Bereichen der Mathematik zur Folge haben. Diese Definition ist verwandt mit der Definition des Nullexponenten, für den gilt a0 = 1.

Die Fakultätsfunktion findet sich in vielen Bereichen der Mathematik wieder, vor allem in der Kombinatorik, Algebra und mathematischen Analysis. Das grundlegendste Auftreten ist die Tatsache, dass es n! Möglichkeiten gibt, n verschiedene Objekte in einer anzuordnen (= Permutationen der Menge von Objekten). Diese Tatsache war schon indischen Gelehrten im 12. Jahrhundert bekannt. Die Schreibweise n! wurde von Christian Kramp im Jahre 1808 eingeführt.

Beispiel


Ein übliches Kartenspiel hat 52 Karten. Auf wie viele verschiedene Arten können die 52 Karten gemischt werden?

Die Lösung ist die Fakultät von 52, daher 52! = 80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000.

(Ausgesprochen wäre dies: achtzig Undezillionen sechshundertachtundfünfzig Dezilliarden einhundertfünfundsiebzig Dezillionen einhundertsiebzig Nonilliarden neunhundertdreiundvierzig Nonillionen achthundertachtundsiebzig Oktilliarden fünfhunderteinundsiebzig Oktillionen sechshundertsechzig Septilliarden sechshundertsechsunddreißig Septillionen achthundertsechsundfünfzig Sextilliarden vierhundertdrei Sextillionen siebenhundertsechsundsechzig Quintilliarden neunhundertfünfundsiebzig Quintillionen zweihundertneunundachtzig Quadrilliarden fünfhundertfünf Quadrillionen vierhundertvierzig Trilliarden achthundertdreiundachtzig Trillionen zweihundertsiebenundsiebzig Billiarden achthundertvierundzwanzig Billionen)

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