Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer algebraischen Funktion ist eine Menge an reellen Zahlen, für die die Funktion definiert ist. Da beispielsweise das Teilen durch 0 nicht definiert ist, müssen alle Zahlen, die den Nenner 0 werden lassen, aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Der Definitionsbereich wird in der Mengenschreibweise i.d.R. mit einem D in Blockschrift angegeben: \( \mathbb{D} \).

Definition

Ist

\( f:A\rightarrow B \)

eine Funktion, dann ist der Definitionsbereich die Menge aller Zahlen, für die f definiert ist. So muss A nur solche Werte annehmen, für die f wohldefiniert ist (also Sinn ergibt).

Ist eine Funktion an einer Stelle nicht definiert, besitzt sie an dieser Stelle eine Definitionslücke.

Teilen durch Null

Um herauszufinden, für welche Zahlen ein Bruch nicht definiert ist, muss der Nenner des Bruchs einfach Null gesetzt werden. Die Funktion @@ f(x) = x/(x+1) @@ hat an der Stelle x = -1 eine Definitionslücke (siehe Abbilding rechts).

Um nun rechnerisch die Definitionslücke zu finden, setzen wir den Nenner gleich Null. Wir lösen die Gleichung x+1=0 und erhalten, wie erwartet, x = -1. Aber es geht auch komplizierter, und zwar mit der Funktion f(x) = (x+1)^1.5. Bei dieser Funktion ist nicht sofort ersichtlich, dass sie sich auch als Bruch darstellen lässt. Doch durch Anwendung der Potenzgesetze erhalten wir:

@@ (x+1)^(3/2) = (x + 1)^2 / sqrt(x + 1) @@

Nun könne wir den Nenner 0 setzen und erhalten als Definitionsbereich:

\( \mathbb{D}=\left \{ x\mid x>-1\right \} \)

Negative Wurzeln

Quadratwurzeln, deren Radikand negativ ist, sind nicht in \( \mathbb{R} \) definiert. Es gibt aber auch Ausnahmen. Es muss nämlich zwischen Wurzeln mit geradem und ungeradem Wurzelexponenten unterschieden werden. Hat eine Wurzel einen ungeraden Wurzelexponenten, so sind negative Radikanden zulässig und damit auch definiert.

Multiplizieren wir beispielsweise die Zahl -2 drei mal mit sich selbst, so erhalten wir: -2 · -2 · -2 = -8. Wenn wir nun die dritte Wurzel aus -8 ziehen erhalten wir wieder: \( \sqrt[3]{-8}\;=\;-2 \). -2 ist die einzige Zahl, die, wenn sie drei mal mit sich selbst multipliziert wird, -8 wird. Die Zuordnung ist damit eindeutig. Dies ist nicht der Fall bei geraden Wurzelexponenten: quadrieren wir die Zahl 4 erhalten wir 16. Doch wir erhalten auch 16 wenn wir -4 quadrieren. Die Zuordnung ist damit nicht mehr eindeutig. Deshalb gilt für ungerade Wurzelexponenten:

\( \large{ \sqrt[2n+1]{-a} = -\left(\sqrt[2n+1]{a}\right) } \)

Beispiele

\( \begin{align*} f_1(x)\;&=\;\sqrt{x}\quad\quad\quad\quad \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ \\ f_2(x)\;&=\;\sqrt{x+1}\quad\quad \mathbb{D}=\left \{ x\mid x>-1\right \} \\ f_3(x)\;&=\;\sqrt[3]{x}\quad\quad\quad\quad \mathbb{D}=\mathbb{R} \end{align*} \)

f₁(x) ist eine Quadratwurzel. Ihr Definitionsbereich umfasst alle positiven reellen Zahlen (\( \mathbb{R}^+ \)).
Auch f₂(x) ist eine Quadratwurzel, allerdings mit einem etwas anderen Radikanden. Um den Definitionsbereich zu ermitteln, muss der Radikand größer sein als Null. Diese Ungleichung muss nach x aufgelöst werden. Das ist dann der Definitionsbereich.

Bei f₃(x) handelt es sich um eine Kubikwurzel. Da der Wurzelexponent 3 und damit ungerade ist, ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert.

Logarithmus

Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist derselbe wie der der Quadratwurzelfunktion. Taucht also in einer Funktion ein Logarithmus aus, so ist dieser auch nur für Werte größer als 0 definiert (siehe Graph der Logarithmusfunktion rechts). Die selben Regeln wie bei der Quadratwurzelfunktion (siehe oben) treffen hier zu.

Trigonometrische Funktionen

Einige trigonometrische Funktionen besitzen vertikale Asymptoten. An diesen Stellen sind sie nicht definiert. Der Tangens (siehe Abbildung rechts) besitzt alle \( k\pi + \frac \pi 2 \), wobei k eine ganze Zahl ist, eine Definitionslücke. Sein Definitionsbereich lautet also:

\( \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\} \)

Mit dieser Mengenschreibweise können wir den Definitionsbereich für die Tangens Funktion schnell und einfach angeben. Sie wird so ausgesprochen: „Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen ausgenommen die Menge k mal π plus π geteilt durch k, wobei k Element der ganzen Zahlen ist“.

Die Definitionslücken des Tangens sind vertikale Asymptoten, die in der Abbildung rechts durch rote Linien gekennzeichnet wurden.

Definitionsbereich aller trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

Der Definitionsbereich der Funktionen verändert sich, wenn Funktionsparameter wie Frequenz oder die Position entlang der x-Achse verändert werden.

Funktion	Definitionsbereich in R
sin(x)	\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \)
cos(x)	\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \)
tan(x)	\( \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\} \)
sin^-1(x)	\( \mathbb{D}=\left\{-1\leq x\leq 1\right\} \)
cos^-1(x)	\( \mathbb{D}=\left\{-1\leq x\leq 1\right\} \)
tan^-1(x)	\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \)
csc(x)	\( \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi,\,n\in\mathbb{Z}\right\} \)
sec(x)	\( \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi,\, k\in\mathbb Z\right\} \)
cot(x)	\( \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\} \)
sinh(x)	\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \)
cosh(x)	\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \)
tanh(x)	\( \mathbb{D} = \mathbb{R} \)