Bogenmaß
Die meisten Taschenrechner benutzen den Begriff Radiants, der meist als rad abgekürzt wird, um anzuzeigen, dass Rechnungen im Bogenmaß erfolgen. In der Seefahrt und der Astronomie werden traditionell Grad für Winkelrechnungen benutzt. In der Analysis allerdings bietet sich das Rechnen mit Bogenmaß an, weil es Berechnungen vereinfacht.
Definition
Der Einheitskreis, also ein Kreis mit einem Radius von 1, hat einem Umfang von 2π. Das Bogenmaß des Winkels ∠ABC entspricht der Länge des Bogenmaßes θ. Die Abbildung rechts zeigt, dass die Länge des Bogens eines Kreises s = rθ ist, wenn der gegenüberliegende Winkel θ im Bogenmaß gemessen wird.
Daraus lässt sich schlussfolgern, dass eine vollständige Umdrehung 360° entspricht, welches im Bogenmaß \( \dfrac{2\,\pi\, r}{r} \) bzw. 2π entspricht. Da 2π = 360° sind, entspricht 1 rad \( \dfrac{180}{\pi} \).
Umrechnung
Da der Einheitskreis einen Umfang von 2π hat, welche 360° entsprechen, ergeben sich folgende Umrechnungsformeln:
Häufige benutzte Werte
| Einheit | Werte | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vollwinkel | 0 | \( \dfrac{1}{12} \) |
\( \dfrac{1}{8} \) |
\( \dfrac{1}{6} \) |
\( \dfrac{1}{4} \) |
\( \dfrac{1}{3} \) |
\( \dfrac{3}{8} \) |
\( \dfrac{5}{12} \) |
\( \dfrac{1}{2} \) |
\( \dfrac{3}{4} \) |
1 |
| Grad | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
| Bogenmaß | 0 | \( \dfrac{\pi}{6} \) |
\( \dfrac{\pi}{4} \) |
\( \dfrac{\pi}{3} \) |
\( \dfrac{\pi}{2} \) |
\( \dfrac{2\,\pi}{3} \) |
\( \dfrac{3\,\pi}{4} \) |
\( \dfrac{5\,\pi}{6} \) |
\( \pi \) |
\( \dfrac{3\,\pi}{2} \) |
\( 2\,\pi \) |