Asymptote
Zeichnet man Funktionen, stellt man bei einigen von ihnen fest, dass sich die Funktion für einige Werte nur minimal verändert. Die Funktion scheint an diesen Stellen eine horizontale bzw. vertikale Linie zu bilden. Dies ist häufig ein Zeichen dafür, das eine Asymptote vorliegt.
Eine Asymptote wird als eine Kurve definiert, die sich beliebig einer Funktion nähert. Mit beliebig ist gemeint, dass sich Funktion und Asymptote niemals berühren oder schneiden werden. Zwar kann definitionsgemäß eine Asymptote eine beliebige Funktion sein, wir werden uns hier aber nur mit vertikalen und horizontalen Asymptoten auseinandersetzen, da diese einfacher sind und nach anderen meist nicht gefragt wird.
Beispiele
| f(x) = tan(x) | f(x) = tan-1(x) | f(x) = x + x-1 |
- Bei der Funktion f(x)=tan(x) kann man sehen, dass die Funktion jeweils bei \( x = \left(\dfrac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z} \) eine vertikale Asymptote hat.
- Die inverse Tangensfunktion f(x)=atan(x) hingegen besitzt nur zwei Asymptoten, bei x=±½π. Auch hier wird wieder deutlich, dass sich die Funktion zwar ±½π nähert, diese aber nie erreicht. Dies kann auch dadurch bewiesen werden, dass tan(±½π) nicht definiert ist.
- Eine Asymptote muss allerdings keine perfekte horizontale oder vertikale Linie sein. Bei der Funktion f(x)=x+x-1 wird die Asymptote durch die Funktion g(x)=x beschrieben.
Vertikale Asymptoten
Vertikale Asymptoten sind relativ einfach zu finden. Sie tauchen meistens bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Um bei einer gebrochenrationalen Funktion die vertikalen Asymptoten zu finden, muss lediglich der Nenner nullgesetzt werden.
Beispiel
Finde die vertikalen Asymptoten der FunktionWir setzten den Nenner gleich 0 und lösen:
Demnach hat die Funktion zwei vertikale Asymptoten, eine bei x1=1 und die andere bei x2=-1. Zur Kontrolle kann man sich die Funktion zeichnen lassen (siehe Graph rechts). Man sieht so schnell, das beide Asymptoten stimmen.
Sollte nach der Gleichung der Asymptoten gefragt sein, so wäre diese in unserem Beispiel x=±1.
Horizontale Asymptoten
Horizontale Asymptoten sind dort zu finden, wo sich eine Funktion auf einen konstanten Wert hin konvergiert. Auch horizontale Funktionen lassen sich relativ einfach finden. Man muss dazu den Grenzwert der Funktion bilden und x gegen ±∞ streben lassen. Ist der Grenzwert eine konstante Zahl, so ist diese die horizontale Asymptote.
Beispiel
Finde die horizontalen Asymptoten der FunktionWir bilden die nötigen Grenzwerte der Funktion:
- \( \large{ \displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x) = 0 } \)
- \( \large{ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 } \)
Da beide Grenzwerte identisch sind, hat die Funktion nur eine horizontale Asymptote und zwar bei 0 (siehe Graph rechts). Die zugehörige Funktionsgleichung der horizontalen Asymptote lautet: y=0.