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Absoluter Betrag


Geometrisch betrachtet ist der absolute Betrag (auch Absolutwert oder schlicht Betrag) einer reellen Zahl x die Strecke von x zu null auf dem Zahlenstrahl. Da Strecken immer positiv oder null sind, ist auch der Betrag jeder reellen Zahl x positive oder null: |x| ≥ 0.

Definition:

Da die Quadratwurzel einer reellen Zahl immer positiv ist, kann die Betragsfunktion auch wie folgt definiert werden:

 

Eigenschaften der Betragsfunktion


1.      Symmetrie: Eine Zahl und ihr negatives Gegenstück haben den selben Betrag
2. Multiplikativität: Der Betrag aus dem Produkt von a und b ist gleich dem Produkt des Betrags von a multipliziert mit dem Betrag von b
3. (Auch) Multiplikativität: Der Betrag des Quotienten von a und b ist gleich dem Quotienten aus dem Betrag von a und dem Betrag von b
4. Subadditivität: Der Betrag der Summe zweier Zahlen a und b wird immer geringer sein als der Betrag von a addiert mit dem Betrag von b
5. Idempotenz: Mehrmaliges Anwenden der Funktion verändert den Wert nicht

 

Betrag von komplexen Zahlen


Zum Hauptartikel komplexe Zahlen

Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als die Länge von dem Punkt (0; 0) zu dem Punkt der komplexen Zahl in der Gaußebene. Einfacher gesagt: der Betrag einer komplexen Zahl a+bi ist definiert als . Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht damit der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und wird auch, ebenso wie die Hypothenuse, mit dem Satz des Pythagoras errechnet.

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