Absoluter Betrag
Definition
\( \large{ \left |x \right | = \begin{cases} \ \;\,\ \ x &\mathrm{f\ddot{u}r}\ x \ge 0\\ \ \;\, – x &\mathrm{f\ddot{u}r}\ x < 0 \end{cases} } \)
Da die Quadratwurzel einer reellen Zahl immer positiv ist, kann die Betragsfunktion auch wie folgt definiert werden:
\( \large{ |x| = \sqrt{x^2} } \)
Eigenschaften der Betragsfunktion
| 1. | \( \large{ |-a| = |a| } \) |
Symmetrie: Eine Zahl und ihr negatives Gegenstück haben den selben Betrag |
| 2. | \( \large{ |a\cdot b| = |a|\cdot|b| } \) |
Multiplikativität: Der Betrag aus dem Produkt von a und b ist gleich dem Produkt des Betrags von a multipliziert mit dem Betrag von b |
| 3. | \( \large{ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} } \) |
(Auch) Multiplikativität: Der Betrag des Quotienten von a und b ist gleich dem Quotienten aus dem Betrag von a und dem Betrag von b |
| 4. | \( \large{ |a+b| \leq |a| + |b| } \) |
Subadditivität: Der Betrag der Summe zweier Zahlen a und b wird immer geringer sein als der Betrag von a addiert mit dem Betrag von b |
| 5. | \( \large{ \big||x|\big| = |x| } \) |
Idempotenz: Mehrmaliges Anwenden der Funktion verändert den Wert nicht |
Betrag von komplexen Zahlen
Zum Hauptartikel komplexe Zahlen
Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als die Länge von dem Punkt (0; 0) zu dem Punkt der komplexen Zahl in der Gaußebene. Einfacher gesagt: der Betrag einer komplexen Zahl a+bi ist definiert als \( \left|a+bi\right| = \sqrt{a^2+b^2} \). Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht damit der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und wird auch, ebenso wie die Hypothenuse, mit dem Satz des Pythagoras errechnet.