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Allgemein

Absoluter Betrag
Geometrisch betrachtet ist der absolute Betrag (auch Absolutwert oder schlicht Betrag) einer reellen Zahl x die Strecke von x zu null auf dem Zahlenstrahl. Da Strecken immer positiv oder null sind, ist auch der Betrag jeder reellen Zahl x positive oder null: |x| ≥ 0.

Asymptote
Zeichnet man Funktionen, stellt man bei einigen von ihnen fest, dass sich die Funktion für einige Werte nur minimal verändert. Die Funktion scheint an diesen Stellen eine horizontale bzw. vertikale Linie zu bilden. Dies ist häufig ein Zeichen dafür, das eine Asymptote vorliegt.

Beweis für den Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras ist einer der am meisten bewiesen Sätze der Mathematik. Der Satz des Pythagoras ist allerdings auch von großer Bedeutung – vor allem in Euklidischer Geometrie, wo er die Grundlage zur Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten im Raum ist. Die Formel a²+b² = c² ist daher auch vielen Schülern noch Jahre nach ihrer Schulausbildung bekannt.

Beweis, dass die Wurzel aus 2 irrational ist
Es gibt viele Beweise, die sich mit der Irrationalität der Wurzel aus 2 beschäftigen. Der wahrscheinlich bekannteste ist der von Euklid.

Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt
Dieser Beweis wird zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Der Beweis wird dabei durch Widerspruch geführt werden. Wir beweisen also, das es falsch wäre, anzunehmen, es gäbe eine endliche Menge an Primzahlen.

Bogenmaß
Die meisten Taschenrechner benutzen den Begriff Radiants, der meist als rad abgekürzt wird, um anzuzeigen, dass Rechnungen im Bogenmaß erfolgen. In der Seefahrt und der Astronomie werden traditionell Grad für Winkelrechnungen benutzt. In der Analysis allerdings bietet sich das Rechnen mit Bogenmaß an, weil es Berechnungen vereinfacht.

Cosinus im Einheitskreis definiert

Definitionsbereich
Der Definitionsbereich einer algebraischen Funktion ist eine Menge an reellen Zahlen, für die die Funktion definiert ist. Da beispielsweise das Teilen durch 0 nicht definiert ist, müssen alle Zahlen, die den Nenner 0 werden lassen, aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Der Definitionsbereich wird in der Mengenschreibweise i.d.R. mit einem D in Blockschrift angegeben: .

Die Kreiszahl Pi
Die Zahl π ist eine mathematische Konstante, welche das Verhältnis vom Umfangs zum Durchmesser eines Kreises beschreibt. Dieses Verhältnis ist konstant und verändert sich nicht mit der Größe des Kreises. Die Konstante wird manchmal als Pi geschrieben und hat ungefähr einen Wert von 3,14159. In der Regel wird sie allerdings durch den griechischen Buchstaben „π“ dargestellt, welcher schon seit Mitte des 18. Jahrhunderts benutzt wird. π ist eine irrationale Zahl, sie kann daher nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden (auch wenn Brüche wie 22/7 häufiger benutzt werden, um Pi näherungsweise anzugeben). Als Folge ist die Dezimaldarstellung von π unendlich und wiederholt sich nie. Darüber hinaus ist π eine transzendente Zahl, also eine Zahl die nicht als Lösung eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten auftreten kann.

Die Zahl e
Neben π ist die Euler′sche Zahl e die bekannteste Konstante der Mathematik. Vor allem in der Infinitesimalrechnung ist sie häufig zu finden, da sie die einzige bekannte Funktion ist, bei der Ausgangsfunktion, Ableitung und Integral identisch sind. Ihre Darstellung gestaltet sich schwierig, da sie sich als irrationale Zahl nicht als Bruch schreiben lässt. Sie lässt sich auch nicht als Lösung einer Polynomgleichung darstellen, was sie zu einer tranzendenten Zahl macht. Daher ist es notwendig, einen anderen Weg zu finden, um e darzustellen.

Division durch 0
Wenn man Null durch eine beliebige Zahl teilt, erhält man immer Null. Versucht man allerdings durch Null zu teilen, erhält man je nach Taschenrechner Meldungen wie 'NaN', 'nDef' oder einfach nur 'nicht definiert'. Aber warum?

Fakultät
n! (gesprochen: "n Fakultät") ist die Abkürzung für das Produkt der natürlichen Zahlen, angefangen bei n, bis zu 1.

Formelsammlung Trigonometrie
Diese Formelsammlung gibt eine Übersicht über die wichtigsten trigonometrischen Begriffe, Zusammenhänge und Identitäten.

Funktionstypen
Hier stellen wir eine Reihe von verschiedenen Funktionstypen vor. Wie wir sehen werden, hat jede Funktionsart einen für sie charakteristischen Graphen.

Graphen der gängigsten Funktionensarten

Hyperbelfunktionen
Gewisse gerade und ungerade Kombinationen der Exponentialfunktion ex und e-x werden so häufig in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten verwendet, dass sie eigene Bezeichnungen bekommen haben. In vielerlei Hinsicht sind sie verwandt mit den trigonometrischen Funktionen und sie haben zur Hyperbel das selbe Verhältnis, das die trigonometrischen Funktionen zum Kreis haben. Aus diesem Grund werden sie Hyperbelfunktionen genannt.

Infinitesimal
Die Analysis wird oft als Infinitesimalrechnung bezeichnet. Nur was bedeutet dies eigentlich?

Intervalle | Intervallschreibweise
Intervalle sind eine verkürzte Schreibweise um eine Teilmenge des Zahlenstrahls auszudrücken. Ein Intervall besteht aus mindestens zwei Zahlen und enthält alle reellen Zahlen die zwischen zwei Elementen liegen.

Kartesisches Koordinatensystem
Für viele ist das kartesische Koordinatensystem das einzige Koordinatensystem, das sie kennen. Genau wie ein Punkt auf dem Zahlenstrahl durch eine einzige Zahl identifiziert wird, braucht man im 2-dimensionalen Raum zwei Koordinaten. Punkte auf der Ebene können mit einem geordneten Zahlenpaar eindeutig lokalisiert werden.

Logarithmusgesetze
Es gibt einige wichtige Logarithmengesetze, die es uns erlauben, Terme mit Logarithmen umzuschreiben, sodass sie äquivalent bleiben. Die Basis der verwendeten Logarithmen muss dabei gleich sein, um das entsprechende Gesetz anzuwenden. Viele der Logarithmengesetze leiten sich von den Potenzgesetzen ab.

Logistische Funktion
Eine Exponentialfunktion f(x)=a·ek·x geht davon aus, das eine Größe ungehindert weiter wächst. Meistens wird diese Funktion verwendet, um die Vermehrung von Bakterien durch Zellteilung zu beschreiben. Doch Zellteilung unterliegt auch limitierenden Faktoren, wie z.B. der Verfügbarkeit von Nährstoffen. Ein logistisches Modell beschreibt diesen Sachverhalt wesentlicher genauer, nämlich als einen Sachverhalt, bei dem das Wachstum oder der Zerfall der abhängigen Variablen begrenzt ist.

Online-Rechner mit Rechenweg
Taschenrechner sind bei vielen Lehren ein umstrittenes Werkzeug, da sie zwar die Lösung anzeigen aber nicht den Lösungsweg. Deshalb haben wir eine Reihe von Rechnern (Ableitungsrechner, Integralrechner, Kurvendiskussion und Polynomdivisionsrechner) speziell für die Oberstufe zusammengestellt, die nicht nur die Lösung, sondern auch den kompletten Lösungsweg anzeigen.

Pi näherungsweise berechnen
Der griechische Mathematiker Archimedes von Syrakus war der Erste, der einen Algorithmus zur exakten Berechnung von π fand. Bereits um etwa 250 v.Chr. konnte er zeigen, das der Wert der Kreiszahl zwischen 223/71 < π < 22/7 (also 3.1408 < π < 3.1429) liegen muss. Seine Art der Berechnung wurde für die nächsten tausend Jahre verwendet, um π immer genauer zu bestimmen.

Potenzen und Potenzgesetze
Potenzieren ist eine wichtige mathematische Rechenoperation, die mit zunehmender Klassenstufe immer wichtiger wird. Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten, wobei der Exponent über der Basis, meist in kleinerer Schrift, geschrieben wird. Auch trigonometrische Funktionen können in Form von Potenzierungen komplexer Zahlen ausgedrückt werden.

Scheitelpunktform
Die Scheitelpunktform, auch Scheitelform genannt, ist eine von vielen Möglichkeiten, eine quadratische Funktion darzustellen. Der Vorteil bei der Scheitelpunktform ist, wie der Name schon sagt, das man auf einen Blick sofort die Koordinaten des Scheitelpunkts der Funktion erkennen kann.

Sinus im Einheitskreis definiert

Sinus Interaktiv
Dieses interaktive Applet (benötigt Microsoft Silverlight) zeigt den Sinus an. Über die Knöpfe überhalb des Graphen lassen sich die einzelnen Werte der Sinusfunktion verändern. Nachdem man auf "Zeichnen" gedrückt hat, wird der Graph neu berechnet und die Veränderung zum vorherigen Graphen durch Animation dargestellt.

Stetigkeit von Funktionen
Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen. Die meisten Funktionen, mit denen man in der Oberstufe zu tun hat, sind stetig. Kann man den Graphen einer Funktion zeichnen, ohne dabei den Stift neu ansetzen zu müssen ist die Funktion i.d.R. stetig. Leider ist diese doch sehr einfache Definition nicht sehr mathematisch und damit auch nicht immer korrekt.

Summenzeichen
Eine praktische Möglichkeit um eine Summe verkürzt zu schreiben, ist die Summenschreibweise (auch Sigma Notation genannt), die mit dem großen griechischen Buchstaben Sigma (Σ) angegeben wird.

Tangens am Einheitskreis definiert

Taschenrechner Tricks: Ti-89/Ti-92
An den meisten Schulen in Deutschland ist ein graphischer Taschenrechner zum Mathematikabitur und meistens auch zum Abitur in anderen Naturwissenschaften erlaubt. Einige Bundesländer (Baden-Württemberg, Thüringen, Niedersachsen und Sachsen) schreiben den Gebrauch eines CAS- oder graphischen Taschenrechners auch ausdrücklich vor. Der Ti-89 und sein großer Bruder der Ti-92 haben prinzipiell das gleiche Betriebssystem und damit auch den gleichen Funktionsumfang. Auch der Nachfolger des Ti-92, der Ti-Voyage 200, ist von den Funktionen her mit seinem Vorgänger fast identisch. Somit lassen sich diese Beispiele auch für den Voyage 200 anwenden. Viele dieser Tipps und Tricks lassen sich auch auf den neuen Ti-Nspire anwenden, auch wenn der eine oder andere Trick überflüssig geworden sein mag, da der Ti-Nspire zahlreiche neue Funktionen spendiert bekommen hat.

Umkehrfunktionen
Man kann sich mathematische Funktionen als eine Art "Automat" vorstellen: man wirft auf der einen Seite etwas ein, und bekommt auf der anderen Seite etwas anderes heraus. Bei Funktionen gibt man einen Wert ein und bekommt dafür einen Funktionswert. Die Umkehrfunktion f-1 der Funktion f  macht genau das Gegenteil.

Verkettung von Funktionen
Zwei Funktionen – f und g – können auf verschiedene Arten kombiniert werden, um eine neue Funktion zu definieren. f+g, f-g, f·g, f/g, -  ähnlich wie wir Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren können. Wenn f und g allerdings in der Form f(g(x)) miteinander verknüpft werden, spricht man von Verkettung (manchmal auch Komposition, Hintereinanderschaltung oder Hintereinanderausführung genannt).

Zahlen
Mit der Einführung der Mengenlehre entsteht auch das Konzept, dass Zahlen unterschiedlich klassifiziert werden. Hier geben wir einen Überblick über die wichtigsten Arten von Zahlen, die es in der Mathematik gibt.

Mathematik für Schule und Studium