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Satz von Vieta


Mit dem Satz von Vieta können viele quadratische Polynome in Sekunden ohne Taschenrechner im Kopf – ohne pq-Formel oder abc-Formel – gelöst werden. Dies ist der Fall, weil die Koeffizienten in einer besonderen Beziehung zueinander stehen.

Definition


Definition

Seien x1 und x2 zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung a · x²+b · x+c = 0, dann gilt:

Für eine Gleichung in Normalform, daher für eine Gleichung der Art x²+p · x+q = 0, vereinfacht sich dies zu:

 

Übungen/Aufgaben zum ThemaSomit stellt der Satz von Vieta einen mathematischen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und dessen beiden Lösungen her.

Neben dem Satz von Vieta ist dessen Erfinder, François Viète, auch dafür bekannt, das er als Erstes durchgehend (mit einigen Ausnahmen) mathematische Symbole wie + und - (vorher wurden diese immer ausgeschrieben) verwendete. Die Schreibweise der Mathematik, wie wir sie heute verwenden, geht in vielen Teilen auf ihn zurück.

Beispiel

Finde die Nullstellen der Gleichung f(x) = x² - 3x - 10

Gemäß dem Satz von Vieta, müssen wir also zwei Zahlen finden

  • deren Summe 3 ( -(-3) = 3 ) ist
  • deren Produkt -10 ist

Da es unendlich viele Zahlenkombinationen gibt, deren Summe 3 ist, ist es einfacher sich zuerst auf das Produkt zu konzentrieren. Hierfür benötigen wir alle Faktoren von -10. Diese sind: ±1, ±2, ±5 und ±10. Alle mögliche Kombinationen wären:

  • -1 · 10
  • -10 · 1
  • -2 · 5
  • -5 · 2

Nun müssen wir die zwei Faktoren finden, deren Summe 3 ist. Es gibt nur zwei, die hierfür infrage kämen: 5 und -2. Die Nullstellen der Gleichung wären somit:

x1 = -2
x2 = 5

Linearfaktorzerlegung


Mit den Lösungen kann man das Polynom auch in seine Linearfaktoren zerlegen. Daher eignet sich der Satz von Vieta auch, um quadratische Polynome zu faktorisieren. Die Gleichung aus unserem Beispiel oben ließe sich in folgende Linearfaktoren zerlegen:

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