Quadratische Gleichungen lösen

Die meisten Polynome, die man in der Oberstufe lösen muss, sind Polynome zweiten Grades, also quadratische Gleichungen. Dies hat auch einen guten Grund: Die Formeln um Gleichungen dritten und vierten Grades zu lösen sind einfach viel zu lang und kompliziert als dass man sie zeitgerecht anwenden könnte.

Deshalb dominieren quadratische Gleichungen die Oberstufe und auch diesen Artikel. Es gibt insgesamt vier gängige Verfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen.

abc-Formel

Die abc-Formel (auch manchmal Mitternachtsformel genannt) ist die allgemeine Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Sie wird allerdings an deutschen Schulen nicht so häufig unterrichtet wie die pq-Formel.

Definition

Eine quadratische Gleichung, die folgender allgemeinen Form genügt:

\( \large{ a\cdot x^2+b\cdot x+c=0 } \)

hat zwei Nullstellen x₁ und x₂, für welche gilt:

\( \large{ x_{1,2} =\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} } \)

Die Funktion kann statt zwei auch eine oder keine reelle Nullstelle haben, je nachdem welchen Wert die Diskriminante hat.

Beispiel #1

Finde die Nullstellen der Funktion f(x) = x² – 3x – 40

a, b und c sind daher:

a = 1
b = -3

c = -40

Durch Einsetzen in die abc-Formel erhalten wir:

\( \begin{align} x &=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \Rightarrow x_1 &= \dfrac{-\hilite{(-3)}+\sqrt{\hilite{(-3)}^2-4\hilite{(1)(-40)}}}{2\hilite{(1)}} \\ &= \dfrac{3+\sqrt{169}}{2} \\ &= \boxed{8} \\ x_2 &= \dfrac{-\hilite{(-3)}-\sqrt{\hilite{(-3)}^2-4\hilite{(1)(-40)}}}{2\hilite{(1)}} \\ &= \dfrac{3+\sqrt{169}}{2} \\ &= \boxed{-5} \end{align} \)

Beispiel #2

Finde die Nullstellen der Funktion f(x) = -2x² + 14x – 3

a, b und c sind daher:

a = -2

b = 14
c = -3

Durch Einsetzen in die abc-Formel erhalten wir:

\( \begin{align} x &=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[1ex] \Rightarrow x_1 &= \dfrac{-\hilite{(14)}+\sqrt{\hilite{(14)}^2-4\hilite{(-2)(-3)}}}{2\hilite{(-2)}} \\[1ex] &= \dfrac{-14+\sqrt{172}}{-4} \\[1ex] &= \dfrac{-14+2\cdot\sqrt{43}}{-4} \qquad\qquad\small{\xplain{{{\sqrt{172} = \footnotesize\sqrt{4}\cdot\sqrt{43} = 2\cdot\sqrt{43}}}}} \\[1ex] &= \boxed{\frac{7-\sqrt{43}}{2}} \;\;\approx\;\; 0{,}2213 \\[1ex] x_2 &= \dfrac{-\hilite{(14)}-\sqrt{\hilite{(14)}^2-4\hilite{(-2)(-3)}}}{2\hilite{(-2)}} \\[1ex] &= \dfrac{-14-\sqrt{172}}{-4} \\[1ex] &= \dfrac{-14-2\cdot\sqrt{43}}{-4} \\[1ex] &= \boxed{\frac{\sqrt{43}+7}{2}} \;\;\approx\;\; 6{,}7787 \end{align} \)

Herleitung der abc-Formel

Um die abc-Formel herzuleiten, muss x auf einer Seite isoliert werden:

\( \begin{array}{rcll}ax^2+bx+c & = & 0 & \xplain{\mbox{quadratische Gleichung, in ihrer allgemeinen Form}} \\[1ex] ax^2+bx & = & -c & \xplain{\mid-c} \\[1ex] 4a^2x^2+4abx & = & -4ac & \xplain{\mid \cdot\, 4a} \\[1ex] (2ax)^2+2\cdot 2ax\,b + b^2 & = & b^2-4ac & \xplain{\mid +b^2} \\[1ex] (2ax+b)^2 & = & b^2-4ac & \xplain{\mbox{mit binomischen Formeln faktorisieren}} \\[1ex] 2ax+b & = & \pm\sqrt{b^2-4ac} & \xplain{\mbox{Wurzel ziehen}} \\[1ex] 2ax & = & -b \pm\sqrt{b^2-4ac} & \xplain{\mid -b} \\[1ex] x & = & \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} & \xplain{\mid \div\,\, 2a} \end{array} \)

pq-Formel

Bei der pq-Formel muss a = 1 sein! Sollte das nicht der Fall sein, muss die gesamte Gleichung durch a geteilt werden.

Definition

Eine quadratische Gleichung der Art

\( \large{ x^2 + px + q = 0 } \)

hat zwei Nullstellen:

\( \large{ x_{1,2} = – \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q} } \)

Beispiel #1

Bestimme die Nullstellen von x² + 3x + 2 = 0

Zuerst bestimmen wir p und q:

p = 3
q = 2

Durch Einsetzen in die pq-Formel erhalten wir:

\( \begin{align} x_{1} \;\;&=\;\; – \frac{3}{2} + \sqrt{\left(\frac{3}2\right)^2-2} \;\;=\;\; -1 \\[1ex] x_2 \;\;&=\;\; – \frac{3}{2} – \sqrt{\left(\frac{3}2\right)^2-2} \;\;=\;\; -2 \end{align} \)

Beispiel #2

Bestimme die Nullstellen von 2x² + 22x + 60 = 0

Bei dieser Gleichung ist a = 2, daher müssen wir zuerst die Gleichung durch 2 teilen, bevor wir die pq-Formel anwenden können.

@@ (2*x^2+22*x+60)/2 = x^2+11*x+30 @@

p und q sind also:

p = 11
q = 30

Durch Einsetzen in die pq-Formel erhalten wir:

\( \begin{align} x_{1} \;\;&=\;\; – \frac{11}{2} + \sqrt{\left(\frac{11}{2}\right)^2-30} \;\;=\;\; -5 \\[1ex] x_2 \;\;&=\;\; – \frac{11}{2} – \sqrt{\left(\frac{11}{2}\right)^2-30} \;\;=\;\; -6 \end{align} \)

Quadratische Ergänzung

Neben den beiden genannten Formeln, können quadratische Gleichungen auch durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Wie genau quadratische Ergänzung durchgeführt wird, haben wir im Hauptartikel quadratische Ergänzung beschrieben. Hier werden wir zeigen, wie eine Gleichung die durch quadratische Ergänzung umgeschrieben wurde, gelöst werden kann.

Beispiel

Mit quadratischer Ergänzung kann jede quadratische Gleichung gelöst werden, wie beispielsweise f(x) = x² + 6x + 5

\( x^2 + 6x + 5 = 0 \)

Zuerst schreiben wir die Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform um:

\( (x+3)^2 – 4 = 0 \)

Als Nächstes bringen wir den quadratischen Term auf eine Seite der Gleichung:

\( (x+3)^2 = 4 \)

Dann ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten:

\( x+3 = 2 \)

Daraus folgt dann, dass x₁ = 5 und x₂ = -1.

Der Satz von Vieta

Mit der Satz von Vieta können quadratische Gleichungen relativ einfach – zum Teil im Kopf und ohne Taschenrechner – gelöst werden. Für weitere Informationen über dieses Verfahren, siehe bitte den Hauptartikel Der Satz von Vieta.