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Horner-Schema zur Polynomdivision


Das Horner-Schema ist ein Verfahren, mit dem unter anderem die Polynomdivision sehr vereinfacht werden kann. Neben der Polynomdivision kann es auch dazu verwendet werden, ein Polynom für gewisse Werte zu berechnen und damit eine Wertetabelle zu erstellen.

 

Beispiel mit Schritt-für-Schritt Erklärung


Horner-Schema Schritt 1In diesem Beispiel werden wir (x5+6x4-3x2-4) durch (x-2) teilen. Die Polynomdivision mit dem Horner-Schema erfolgt in einer Art Tabelle, die drei Zeilen besitzt. In die erste Zeile werden die Koeffizienten des Divisors geschrieben, die zweite wird für Berechnungen benutzt und in die letzte Zeile wird das Ergebnis geschrieben.

Wichtig ist, dass das Polynom vereinfacht und nach Exponent von groß nach klein geordnet sein muss. Wie man in unserem Beispiel sehen kann, fehlt der Koeffizient der Terme x³ und x. Wie bei der normalen Polynomdivision auch, müssen aber alle Koeffizienten eingetragen werden. Die beiden Terme x³ und x haben damit einen Koeffizient von Null.

Das Zweite, was bei der Polynomdivision mit dem Horner-Schema beachtet werden muss, ist, dass sich das Vorzeichen des Divisors (Term, durch den geteilt wird) ändert. Wenn man durch (x-2) teilen will, schreibt man nicht -2 sondern 2 neben die Tabelle.

Merke:

Das Hornerschema, in der Art wie wir es hier zeigen, funktioniert nur dann, wenn durch Terme geteilt wird, welche die Form haben. Für alle anderen Terme muss die normale Polynomdivision genommen werden.

 

ErklärungSchritt
Im ersten Schritt wird lediglich der erste Koeffizient in die Ergebniszeile geschrieben. Horner-Schema Schritt 2
Als Nächstes multiplizieren wir die 1, die wir eben haben mit der 2, durch die wir teilen. Horner-Schema Schritt 3
Jetzt addieren wir die Werte in der Spalte und schreiben das Ergebnis in die Ergebniszeile. horner-schema04
So machen wir auch beim nächsten Term weiter wie zuvor: die 8, die wir eben erhalten haben, multiplizieren wir mit der 2, durch die wir teilen wollen und schreiben das Ergebnis in die zweite Zeile. Horner-Schema Schritt 5
Wieder wird die Spalte addiert und die Summe in die Ergebniszeile geschrieben. Horner-Schema Schritt 6
Dies wiederholen wir so lange, bis wir mit allen Werte fertig sind. In der interaktiven Animation rechts, kann man sich die übrigen Schritte bei Bedarf auch noch anschauen.  

Die Werte, die wir errechnet haben und die die Ergebniszeile geschrieben haben, sind die Koeffizienten unseres Ergebnisses. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest der Polynomdivision. In unserem Beispiel ist er 112. Wäre er 0, so wäre die Polynomdivision glatt aufgegangen und es würde sich um eine Nullstelle handeln.

 

Horner-Schema: Ergebnis 

Polynomdivision vs. Horner-Schema


Zwei der größten Fehlerquellen bei der Polynomdivision sind die Unübersichtlichkeit bei langen Polynomen und Vorzeichenfehler, die sich schnell einschleichen können. Beides ist bei der Polynomdivision mit dem Horner-Schema besser. Große Polynome nehmen kaum mehr Platz ein und Vorzeichenfehler treten kaum auf, da es sich nur um die Multiplikation und Addition einzelner Zahlen und nicht ganzer Polynome handelt. Nehmen wir zum Vergleich das Polynom x³+2x²-x-2 welches durch x-1 geteilt werden soll:

Polynomdisivion
Horner-Schema

Polynomdivision mit dem Horner-Schema

 Wie man sehen kann, ist das Ergebnis auf beiden Seiten das selbe, nur mit dem Horner-Schema wesentlich kompakter und einfacher.

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