Gerade und ungerade Funktionen

Gerade und ungerade Funktionen besitzen besondere Eigenschaften bezüglich ihrer Symmetrie. Funktionen auf ihre Symmetrieeigenschaften hin zu untersuchen ist Teil einer Kurvendiskussion.

Gerade Funktionen

Rechts sehen wir die Funktion f(x) = x². Sie ist eine gerade Funktion. Graphisch kann man dies besonders gut daran erkennen, dass die y-Achse die einzige Symmetrieachse der Funktion ist.

Ein Polynom, welches nur gerade Exponenten hat, ist eine gerade Funktion. Auch die Funktion f(x)=x²+1 ist eine gerade Funktion, da der Term 1 dem Wert 1 · x⁰ entspricht, und null eine gerade Zahl ist.

Um allerdings zu beweisen, dass die Funktion auch tatsächlich gerade ist, muss gerechnet werden. Eine gerade Funktion erfüllt folgende Bedingung:

\( \large{ f(x) = f(-x) } \)

Nicht nur Polynome können gerade sein. Auch Funktionen wie cos(x), cosh(x) und die Betragsfunktion |x| sind gerade.

Ungerade Funktionen

Eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung O(0; 0), wie beispielsweise die Funktion f(x) = x³ (siehe Graph rechts).

Ein Polynom, das nur ungerade Exponenten hat, ist automatisch auch eine ungerade Funktion (daher auch der Name).

Nimmt man den Graphen rechts neben der y-Achse und dreht ihn um 180°, so entspricht er dem Teil des Graphen, der sich auf der linken Seite der y-Achse befindet.

Ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, dann erfüllt sie folgende Gleichung:

\( \large{ f(x) = -f(-x) } \)

Weitere Beispiele für ungerade Funktionen sind x³+x, sin(x) und sinh(x).

Besonderheiten

Die einzige Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist, ist die x-Achse mit der Funktionsvorschrift f(x) = 0.
Die Summe einer geraden und ungeraden Funktion ist weder gerade noch ungerade, es sei denn, eine der Funktionen ist gleich Null über den angegebenen Wertebereich.
Die Summe zweier geraden Funktionen ist gerade.

Die Summe zweier ungeraden Funktionen ist eine ungerade Funktion.
Das Produkt zweier geraden Funktionen ist eine gerade Funktion.
Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist eine gerade Funktion.

Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
Der Quotient zweier geraden Funktionen ist eine gerade Funktion.
Der Quotient zweier ungerader Funktionen ist eine gerade Funktion.

Der Quotient einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade.
Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.